2019-10-05
На рисунке изображена конструкция фермы моста. Она состоит из твердых невесомых стержней равной длины, соединенных между собой шарнирно. Трение в шарнирах отсутствует. Найдите силы реакции $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ и усилие в стержне DF, если в точке Е подвешен груз весом $W$.
Решение:
Условия равновесия всей фермы в целом таковы:
$F_{1} + F_{2} = W$ и $F_{1}2l - F_{2}l = 0$
($l$ - длина стержня). Отсюда
$F_{1} = \frac{W}{3}$ и $F_{2} = \frac{2W}{3}$.
Стержень GF испытывает сжатие, a EG - растяжение. Их нагрузки равны соответственно $T_{1}$ и $T_{2}$. Но $F_{2}/T_{1} = \cos 30^{ \circ}$, откуда
$T_{1} = \frac{4W}{3 \sqrt{3} }$,
Из равновесия в узле $F$ имеем $\vec{T}_{1} + \vec{T}_{3} + \vec{T}_{4} = 0$ ($\vec{T}_{3}$ и $\vec{T}_{4}$ - напряжения в стержнях EF и DF). Проектируя это равенство на вертикальную ось, получаем
$\frac{ \sqrt{3} }{2}T_{3} - \frac{ \sqrt{3} }{2} T_{1} = 0$, т. е. $T_{1} = T_{3}$.
Приравнивая затем нулю сумму проекций на горизонтальную ось, находим
$T_{4} = 2T_{1} \cos 60^{ \circ} = \frac{4W }{3 \sqrt{3} }$.
Таким образом, стержень FD сжат, его напряжение $\frac{4W}{3 \sqrt{3}}$.