2019-10-05
Масса покоя протона составляет $m_{p} = 938 Мэв$. В космических лучах встречаются протоны с энергией порядка $10^{10} Гэв (1 Гэв=10^{3} Мэв)$; появление их удается определить с помощью разных косвенных методов. Пусть протон с такой энергией пересекает по диаметру Галактику. Длина этого диаметра равна $10^{5}$ световых лет. Сколько времени потребуется протону на это путешествие «с его точки зрения»?
Решение:
Из соотношения между энергией и импульсом $E^{2} - p^{2} = m_{p}^{2}$ (в системе единиц, где $c = 1$) следует, что $E \approx p$, так как $E$ и $p$ намного больше $m_{p}$. Из определения же релятивистского импульса частицы находим
$v^{2} = \frac{1}{1 + \left ( \frac{m_{p} }{p} \right )^{2} } \approx 1 - \left ( \frac{m_{p} }{p} \right )^{2} = 1 - 10^{-20}$
(здесь учтено, что $\frac{m_{p}}{p} \ll 1$ и использована приближенная формула $\frac{1}{1 + x} \approx 1 - x$). Таким образом, скорость протона такой большой энергии отличается от скорости света только в 20-м знаке! Поэтому с точки зрения земного наблюдателя такой протон пересечет Галактику по диаметру за $10^{5}$ лет. С точки зрения протона такое путешествие займет всего\
$\tau = \frac{10^{5} лет}{ \sqrt{1 - v^{2} } } = 10^{-5} лет \approx 315 сек \approx 5 мин$.