2019-10-05
Частица движется вдоль оси $x$ со скоростью $v_{x}$ и ускорением $a_{x}$. Система координат $S^{ \prime}$ движется по отношению к исходной со скоростью $v$. Чему равны скорость и ускорение частицы в этой системе?
Решение:
Чтобы найти величину скорости в движущейся системе координат, выразим дифференциалы штрихованных координат через дифференциалы нештрихованных координат: $dx^{ \prime} = \gamma(dx - \beta c dt), dy^{ \prime} = dy, dz^{ \prime} = dz, dt^{ \prime} = \gamma [dt - ( \beta /c)dx]$. Разделив $dx^{ \prime}$ на $dt^{ \prime}$, найдем скорость в подвижной системе координат
$v_{x^{ \prime} } = \frac{v_{x} - u }{1 - \frac{uv_{x} }{c^{2} } }$.
Вычислим дифференциал $dv_{x^{ \prime} }$:
$dv_{x^{ \prime} } = \frac{1 - \frac{u^{2} }{c^{2} } }{1 - \frac{uv_{x} }{c^{2} } } dv_{x}$.
Разделив $dv_{x^{ \prime}}$ на $dt^{ \prime}$ и учитывая, что $a_{x^{ \prime} } = \frac{dv_{x^{ \prime}}}{dt^{ \prime} }, a = \frac{dv_{x} }{dt}$, получим
$a_{x^{ \prime} } = \frac{ \left ( 1 - \frac{u^{2} }{c^{2} } \right )^{3/2} }{ \left (1 - \frac{uv_{x} }{c^{2} } \right )^{3} } a_{x}$.