2019-10-05
Частица с массой покоя $m_{0}$ движется вдоль оси $x$ так, что ее положение в каждый момент времени задается формулой
$x = \sqrt{b^{2} + c^{2}t^{2} } - b$.
Чему равна сила, под действием которой частица совершает такое движение?
Решение:
Сила и импульс в релятивистской механике связаны между собой таким же образом, как и в ньютоновской, $F = \frac{d (mv)}{dt}$, только масса в релятивистском случае не постоянна, а выражается через массу покоя как $m = \frac{m_{0}}{ \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$, т. е. зависит от скорости движения частицы. Итак,
$F = \frac{d}{dt} \frac{m_{0}v }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } } = m_{0} \left [ \left ( 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } \right )^{-1/2} + \frac{v^{2} }{c^{2} } \left ( 1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } \right )^{-3/2} \right ] \frac{dv}{dt}$.
Дифференцируя функцию $x(t)$, находим
$v = \frac{c^{2}t }{ \sqrt{b^{2} + c^{2}t^{2} } }$ и $\frac{dv}{dt} = \frac{c^{2}b^{2} }{ (b^{2} + c^{2} )^{3/2} }$.
Таким образом, действующая на частицу сила $F = \frac{m_{0}c^{2}}{b}$ постоянна.