2019-10-05
Требуется вывести космический корабль на околосолнечную орбиту с перигелием 0,01 А.Е. и тем же периодом обращения по орбите, который имеет Земля (1 год). С какой скоростью и в каком направлении относительно линии Земля-Солнце нужно запустить этот корабль с Земли? Орбитальная скорость Земли равна 30 км/сек.
Решение:
Период обращения планеты вокруг Солнца зависит только от величины большой полуоси эллипса орбиты. Из того, что периоды обращения Земли и космического корабля совпадают, следует равенство больших полуосей орбит Земли и корабля.
Величиной большой полуоси полностью определяется и другая характеристика планеты-полная энергия на единицу массы (см, задачу 10747). Поэтому, когда Земля и космический корабль находятся на одинаковом расстоянии от Солнца (и, следовательно, имеют по отношению к Солнцу одинаковую потенциальную энергию на единицу массы), их скорости относительно Солнца одинаковы по величине.
Заметим, что мы не учли в этих рассуждениях притяжения корабля Землей. Будем считать для начала, что корабль берет старт не с Земли, а из некоторой периферийной точки «околоземного пространства», где потенциал тяготения Солнца начинает превышать потенциал тяготения Земли. Оценим, насколько такая точка удалена от Земли. Потенциал Солнца ($-GM_{сол}/R_{1}$) и потенциал Земли ($-GM/R$) сравниваются, если $R = \frac{R_{1}M}{M_{сол}}$. Так как $M/M_{сол} = 2,5 \cdot 10^{-5}$, если удалиться от Земли, скажем, на десятитысячную радиуса земной орбиты, потенциал Солнца будет превышать потенциал Земли (а «с точки зрения Солнца» Земля и корабль будут по-прежнему в одном и том же месте!).
Существуют четыре варианта запуска. Два из них изображены на рисунке (а и б). Рассчитаем вариант а (как более экономный). Так как корабль в перигее подходит очень близко к Солнцу, его скорость при пересечении земной орбиты (которую здесь и далее считаем круговой) практически параллельна линии, проходящей через фокусы орбиты корабля. Найдем угол $\alpha$. Из прямоугольного треугольника ОАК (на рисунке в) $\cos \alpha = \frac{a - r_{p}}{a} = 0,99$ ($a$-большая полуось орбиты корабля, равная радиусу орбиты Земли). Из треугольника АВС находим $BC = v^{ \prime}$ - скорость запуска корабля из периферии околоземного пространства. Учитывая, что $AB = AC = v_{0}$ ($v_{0}$ - орбитальная скорость Земли), имеем
$v^{ \prime 2} = 2v_{0}^{2} \left (1 - \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right ) \right ) = 2v_{0}^{2} (1 - \sin \alpha)$.
Вспоминая, что $v_{0} = 30 км/сек$. находим
$v^{ \prime} = 39,2 км/ceк$.
Угол $\beta$, под которым запущен корабль относительно линии Земля-Солнце, найдем из треугольника ABD (замечая, что $\angle ABC = \beta + \alpha$):
$\beta = \frac{90 - \alpha }{2} = 41^{ \circ}$.
Учтем теперь, что корабль стартует с поверхности Земли. Вспоминая задачу 10749, находим, что истинная скорость запуска $v = \sqrt{v^{ \prime 2} + v_{1}^{2}}$, где $v_{1}$ - вторая космическая скорость.
Итак, $v \approx 42 км/сек$.