2019-05-10
Четыре черепашки движутся равномерно и прямолинейно по очень большой плоской поверхности. Направления их траекторий произвольны (но не параллельны, т.е. любые две черепашки могли бы встретиться), при этом пересечься в какой-либо точке могут не более двух траекторий. На текущий момент произошли уже пять встреч из $\frac{4 \times 3}{2} = 6$ возможных. Можно ли тогда с определенностью сказать, что шестая встреча тоже произойдет?
Решение:
Согласно условию задачи, четыре прямые линии a, b, e и d находятся в одной плоскости и определенно пересекаются попарно в пяти точках (рис.).
Решение 1. Обозначим эти точки А, B, С, Р и Q. Из построения на рисунке можно сделать вывод, что если прямые с и d еще не пересеклись, то они обязательно пересекутся, и шестое пересечение определенно произойдет. Но отсюда еще не следует обязательность встречи.
Решение 2. Поскольку пять встреч черепашек уже произошли, обязательно найдется черепашка, которая участвовала в трех встречах. Обозначим ее $\alpha$. Представим себе всю картину движения, сидя на спине черепашки $\alpha$, т.е. выберем систему отсчета, связанную с этой черепашкой. Три другие черепашки - обозначим их $\beta, \gamma, \delta$ - уже встретились с черепашкой $\alpha$, поэтому их траектории проходят через одну и ту же точку (место встречи с черепашкой $\alpha$). Более того, одна из этих черепашек, например $\beta$, должна была участвовать во встречах с оставшимися двумя другими черепашками (но не в момент своей встречи с $\alpha$). Это возможно, если в системе отсчета, связанной с черепашкой $\alpha$, все траектории черепашек $\beta, \gamma, \delta$ находятся на одной прямой. Следовательно, и черепашки $\gamma$ и $\delta$, двигаясь по одной и той же прямой, могли бы встретиться. А произойдет ли встреча или нет, зависит от начальной конфигурации движущейся системы черепашек. Например, черепашка $\gamma$, имея большую скорость, чем $\delta$, ее уже может опережать.