2019-05-10
Длинный тонкий гибкий ковер лежит на полу. Один конец ковра загнули и с постоянной горизонтальной единичной скоростью потянули назад над, той частью ковра, которая покоится (рис.). Найдите скорость центра масс движущейся части ковра. Какова минимальная сила, необходимая для того, чтобы тянуть движущуюся часть ковра, если ковер имеет единичную длину и единичную массу?
Решение:
Пусть передний конец движущейся части ковра в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x$ (рис.). Из рисунка видно, что другой конец движущейся части (в данный момент он еще неподвижен) имеет координату $x/2$. Следовательно, для координаты центра масс получаем: $x_{ц} = \frac{3}{4}x$. Хотя для переднего конца ковра, по условию, скорость $v = \frac{dx}{dt} = 1$, скорость центра масс движущейся части составляет только
$v_{ц} = \frac{dx_{ц}}{dt} = d \frac{ \frac{3}{4} x }{dt} = \frac{3}{4}$.
Так как импульс $p$ движущейся части ковра равен $mv$, где скорость $v = 1$, а масса $m$ увеличивается равномерно со временем, сила $F$, действующая на перемещающуюся часть, равна
$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt} + m \frac{dv}{dt} = 1 \cdot \frac{dm}{dt} + 0$.
Скорость изменения массы $dm/dt$ можно найти с помощью следующего рассуждения. Во-первых, она постоянна, а во-вторых, вся масса приходит в движение тогда, когда передний конец окажется на расстоянии, в два раза большем длины ковра, масса которого $m$. Из этого следует, что $dm/dt = 1/2$, а значит, сила $F = 1/2$.
Примечания, а) Центр масс движущейся части ковра, сначала находившийся в начале координат: $x_{ц} = 0$, спустя две единицы времени имеет координату $x_{ц} = \frac{3}{2}$. Это подтверждает, что скорость центра масс движущейся части ковра равна $\frac{3}{4}$.
б) Следует обратить внимание на то, что импульс $p = mv$ движущейся части ковра не равен произведению массы $m$ на скорость ее центра масс $v_{ц}$.
в) Кажется правильным попробовать найти минимальную силу $F$, необходимую для приведения ковра в движение, через работу $A$ силы $F$ на пути $2L$, где $L$ - длина ковра ($L = 1$). Закон сохранения механической энергии в этом случае дает $A = F \cdot 2L = \frac{mv^{2}}{2}$. Однако сила в этом случае окажется равной только $\frac{1}{4}$, что в два раза меньше результата, полученного ранее. Ошибка заключается в том, что часть работы тратится на неупругие взаимодействия, которые происходят, когда движущаяся часть ковра рывком приводит следующую его часть в движение. Половина работы превращается в кинетическую энергию ковра, а другая половина рассеивается в виде тепла.