2019-05-10
Лодка может плыть в стоячей воде со скоростью $v = 3 м/с$. Лодочник хочет переплыть реку постоянной ширины по самому короткому пути. В каком направлении по отношению к берегу он должен грести, если скорость $u$ воды в реке равна: а) $u = 2 м/с$; б) $u = 4 м/с$? Считайте, что скорость воды в реке везде одинакова.
Решение:
а) Самый короткий путь в случае, когда $u < v$, это движение по перпендикуляру к берегу. При этом не происходит смещения лодки ни вниз, ни вверх по течению реки.
Скорость движения лодки $v_{л}$ относительно неподвижных берегов есть векторная сумма скорости лодки в стоячей воде $v$ и скорости реки $u$. Чтобы лодка перемещалась по перпендикуляру к берегу, необходимо направить ее под углом $\alpha$ к берегу против течения (рис.), который находится из прямоугольного треугольника по формуле
$\alpha = arccos \frac{u}{v} = arccos \frac{2}{3} = 48^{ \circ}$.
В этом случае скорость при переправе окажется равной
$v_{л} = \sqrt{v^{2} - u^{2}} = \sqrt{5} м/с \approx 2,2 м/с$.
б) При условии, что $v < u$ у лодка будет смещаться вниз по течению, даже если лодочник будет грести против течения. Всевозможные направления и величины скорости $\vec{v}_{л}$, с которой он может перемещаться относительно берега, определяются из векторной диаграммы на рисунке. Постоянный вектор скорости реки $\vec{v}$ изображается вектором АО, из конца которого выходят векторы скорости лодки $\vec{v}$ во всевозможных направлениях, прибавляя все возможные скорости лодки в неподвижной воде к скорости реки. Множество точек на окружности радиусом $v$ является множеством концов возможных векторов скоростей $\vec{v}_{л}$ перемещения лодки относительно неподвижных берегов.
Из рисунка следует, что при любом векторе $\vec{v}_{л}$, лежащем выше диаметра окружности, лодочник может переправиться на другой берег. Кроме того, понятно, что чем больше угол между результирующей скоростью и скоростью реки, тем на меньшее расстояние вдоль реки произойдет смещение лодки. На основе этих рассуждений приходим к выводу, что вектор скорости $\vec{v}_{л}$ должен лежать на касательной к окружности (см. рис.). Таким образом, получаем, что вектор $\vec{v}$ должен быть направлен навстречу течению реки под углом $\alpha$, который определяется из треугольника АОМ следующим образом:
$\alpha = arccos \frac{v}{u} = arccos \frac{3}{4} = 41,4^{ \circ}$,
а скорость лодки относительно берега вычисляется по формуле
$v = \sqrt{ u^{2} - v^{2}} = \sqrt{7} м/с \approx 2,6 м/с$.
Перемещение лодки х вдоль берега легко выражается через ширину реки $l$:
$x = l \frac{u - v \cos \alpha }{v \cos \alpha} = l \frac{4 - 3 \cdot 3/4}{3 \cdot \sqrt{7} / 4} = \frac{ \sqrt{7} }{3} l = 0,88l$.
Кроме того, легко понять, что путь, пройденный лодкой, равен $\frac{4}{3}l$.