2019-05-10
Три маленькие улитки в исходном положении находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a = 60 см$. В некоторый момент времени все приходит в движение: первая улитка движется ко второй, вторая - к третьей, третья - к первой с одинаковыми и постоянными по величине скоростями $v = 5 см/мин$. Во время движения каждая улитка всегда оказывается впереди по отношению к соответствующей следующей улитке. Сколько пройдет времени и какой путь пройдут улитки до того, как они встретятся? Каковы уравнения их траекторий? Если улитки считать точечными, то сколько раз каждая улитка повернется вокруг точки их встречи?
Решение:
Система имеет явную симметрию относительно центра, поэтому достаточно рассмотреть движение одной или двух улиток.
Решение 1. Разложим вектор скорости улитки 2 на две составляющие: одну в направлении улитки 1, другую - в перпендикулярном направлении (рис.). Эти две улитки приближаются друг к другу с относительной скоростью $v + \frac{v}{2} = \frac{3v}{2}$, поэтому они встретятся через время
$t = \frac{a}{ \frac{3v}{2} } = \frac{60 см}{7,5 см/мин} = 8 мин$.
Значит, и все улитки встретятся через 8 мин. Поскольку они перемещаются относительно неподвижной системы координат со скоростью 5 см/мин, то каждая улитка пройдет расстояние 40 см.
Решение 2. Разложим вектор скорости улитки 2 на радиальную и тангенциальную составляющие, как показано на рисунке. Из рисунка видно, что улитки приближаются к центру треугольника с постоянной скоростью $v_{r} = \frac{ \sqrt{3}v}{2}$, в то же время двигаясь вокруг этой точки с тангенциальной скоростью $v_{ \tau} = \frac{v}{2}$. Так как улитки находятся сначала на расстоянии $r = \frac{a}{ \sqrt{3}}$ от центра треугольника, они встретятся через время
$t = \frac{r}{v_{r}} = 8 мин$.
Расстояние, которое пройдет каждая улитка, определяется так же, как в решении 1.
Решение 3. В силу симметрии, каждая улитка перемещается так, что между направлением ее движения и прямой, соединяющей ее мгновенное положение на траектории с центром треугольника, всегда образуется угол $\pi/6$. Это позволяет обобщить задачу вычисления пути, пройденного телом по траектории подобного типа.
Рассмотрим движение тела, перемещающегося по кривой с постоянной по величине скоростью $v$ вокруг неподвижного центра О с постоянным углом $\alpha$ ($0 < \alpha < \pi /2 $) между вектором скорости и прямой, соединяющей ее мгновенное положение М на траектории с этим центром (рис.). Траекторию движения точки в этом случае можно описать в полярных координатах $(r, \phi)$. При повороте вектора $\vec{r}$ на малый угол $\Delta \phi$ его длина уменьшится на малую величину $\Delta r$, которая равна длине дуги ВС, умноженной на котангенс угла $\alpha$, т.е.
$\Delta r = - r \Delta \phi ctg \alpha$.
Переход к бесконечно малым приращениям дает дифференциальное уравнение
$dr ( \phi ) = - r ( \phi) ctg \alpha d \phi$.
Его решение запишем в виде
$r( \phi) =r_{0} e^{ - \phi ctg \alpha}$.
Полученное выражение описывает уравнение так называемой логарифмической спирали и, кстати, подразумевает, что расстояние $r$ стремится к нулю только после поворота на бесконечно большой угол $\phi$.
Найдем длину этой спирали. Используя выражение для $r( \phi)$, элемент дуги $dl$ можно записать так:
$dl = \left ( \frac{r_{0} }{ \sin \alpha} e^{ - \phi ctg \alpha} \right ) d \phi$.
Это уравнение легко интегрируется. В результате получаем выражение для длины дуги $l( \phi)$ для любого угла $\phi$ поворота радиуса-вектора $\vec{r}$:
$l( \phi) = \frac{r_{0} }{ \cos \alpha} (1 - e^{ - \phi ctg \alpha} )$.
Подставим данные задачи:
$l( \phi) = \frac{ \frac{a}{ \sqrt{3} } }{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } (1 - e^{ - \phi ctg \alpha} ) = \frac{2}{3} (1 - e^{ \phi ctg \alpha} )$.
Отсюда следует, что длина траектории улитки равна $\left ( \frac{2}{3} \right ) a = 40 см$ только при $\phi = \infty$. Это доказывает, что улитки точечных размеров, приближаясь к центру треугольника и друг к другу, поворачиваются вокруг центра треугольника бесконечное число раз со все увеличивающейся угловой скоростью.
Примечание. Ночные насекомые пытаются следовать прямыми курсами полета, сохраняя постоянное направление относительно отдаленного источника света (например, Луны). Если же в качестве ориентира движения оказывается близлежащая лампа, то они летят к опасности по сжимающимся спиральным траекториям, не понимая того, что рано или поздно ударятся о лампу, так как ни насекомые, ни лампа не являются точечными.