2019-02-27
Тележка массой $M$ укреплена на рельсах. На тележке расположена вертушка, на ее концах, на расстоянии $R$ от оси вращения, имеются заряды $q$ и $- q$ (см. рисунок, вид сверху). Двигатель вращает вертушку с постоянной угловой скоростью $\omega$, при этом заряды движутся в вертикальном магнитном поле индукции $B$. В момент, когда вертушка параллельна рельсам, тележку освобождают. Найдите координаты тележки на рельсах как функцию времени. Трение тележки о рельсы пренебрежимо мало. Как изменится ответ задачи, если тележку освободить в момент, когда вертушка перпендикулярна рельсам?
Решение:
На каждый из двух зарядов, двигающихся в магнитном поле, действует сила Лоренца $F = qB \omega R$, (см. рис. ). Направление $F$ для положительного заряда определяется по правилу левой руки; второй заряд движется в противоположную сторону, но поскольку этот заряд отрицателен, $F$ для него направлена туда же, что и $F$ первого заряда. Проекции сил $F$ на направление рельсов Ox будут обеспечивать ускорение тележки, проекции же на перпендикулярное рельсам направление не влияют на движение.
Когда тележка уже двигается, кроме вращательной скорости $\omega R$ заряды имеют дополнительно поступательную скорость $V$ тележки, этой компоненте скорости также соответствует сила Лоренца $F^{ \prime} = qBV$, однако легко понять, что направлена каждая из этих сил перпендикулярно рельсам (см. рис.).
Итак, если в некоторый момент вертушка повернулась на угол $\alpha = \omega t$ к рельсам, уравнение движения тележки имеют вид
$Ma = 2F \cos( \omega t)$. (1)
Это уравнение колебательного движения. Несложно восстановить зависимости скорости и координаты частицы от времени:
$V(t) = \frac{2F}{M \omega } \sin ( \omega t), x(t) = - \frac{2F}{M \omega^{2} } \cos ( \omega t) = - \frac{2qBR}{M \omega } \cos ( \omega t)$
Понятно, что первоначально (при $t = 0$ тогда $\alpha = 0$) скорость тележки равна нулю, тележка ускоряется в сторону положительного заряда (на нашем рисунке - направо). При этом в момент $t = 0$ координата тележки равна $x_{0} = - 2qBR/(M \omega)$. Это позволяет найти начало координат О, т.е. точку, вокруг которой происходят колебания. Очевидно, она расположена на нашем рисунке справа от первоначального положения тележки - только тогда вначале тележка имеет отрицательную координату.
В случае, когда первоначально вертушка располагалась перпендикулярно рельсам, угол $\alpha = \omega t$ следует отсчитывать от вертикали. Тогда уравнение движения (1) заменится на (см. рис.)
$Ma = - 2F \sin( \omega t)$. (2)
При этом зависимость $V(t)$ не может иметь, казалось бы, очевидный вид
$V(t) = \frac{2F}{M \omega} \cos ( \omega t)$,
так как при $t = 0$ это выражение дает начальную скорость $V_{0} = (2F/M \omega ) \neq 0$, в то время как по условию в начальный момент тележка покоилась. Значит, центр гармонических колебаний должен двигаться с постоянной скоростью $-2F/(M \omega)$, чтобы в начальный момент скорость обращалась н ноль:
$V_{0} = - \frac{2F}{M \omega} + \frac{2F}{M \omega} \cos ( \omega t)$.
Такое равномерное движение центра колебаний эквивалентно переходу в другую систему отсчета и не влияет на второй закон Ньютона (2).
Этот результат можно также получить, нарисовав график функции $a(t)$, полученный из (2), восстановив $V(t)$ как площадь под этим графиком. При этом график скорости должен выходить из начала координат (см. рис.). Заштрихованная площадь на графике $a(t)$, например, дает численное значение максимального по модулю значения скорости. Из восстановленного графика для $V(t)$ видно, что центр синусоиды $V(t)$ сдвинут по вертикали, скорость всегда направлена против оси Ox, и тележка в среднем едет влево. Таким образом, координата тележки во втором случае будет
$x(t) = - \frac{2F}{M \omega} t + \frac{2qBR}{M \omega} \sin ( \omega t)$.
Ответ: Тележка совершает гармонические колебания, $x(t) = -2qBR/ \cos( \omega t)(M \omega)$, центр колебаний смещен на $2qBR/(M \omega)$ от первоначального положения тележки в сторону, где был положительный заряд в начальный момент времени.
Во втором случае координата тележки $x(t) = -2qBRt/M + 2qBR \sin( \omega t)/(M \omega)$, центр гармонических колебаний в начальный момент совпадает с положением тележки, а затем смещается с постоянной скоростью $2qBR/M$ в сторону, в которую движется отрицательный заряд в начальный момент времени.