2019-02-27
Тренажер для бегуна представляет собой ленту-гусеницу массы m, которая может свободно вращаться вокруг барабанов (см. рисунок). Барабаны легкие, они вращаются без трения вокруг неподвижных осей. Первоначально спортсмен держится за поручень и бежит на месте, отталкивая ленту назад, скорость бегуна относительно ленты $V$. В некоторый момент бегун отпускает поручень, прекращает бежать по ленте и, за пренебрежимо малое время, останавливается относительно нее. За какое время он доедет до конца тренажера? Длина тренажера $L$, масса спортсмена $M$, первоначально он находился посередине. Тренажер не сдвигается относительно пола.
Решение:
Когда спортсмен прекращает бежать, лента начинает его разгонять, и при этом сама тормозится. Это эквивалентно тому, что масса ленты увеличилась до $M + m$. Первоначально каждая точка ленты имеет скорость $V$ (относительно земли). Обозначим скорость ленты, когда бегун перестал по ней бежать, $V^{ \prime}$.
Поскольку спортсмену удается затормозить относительно тренажера, между лентой и спортсменом действует сила трения. Значит, полная энергия в системе не сохраняется.
Однако, лента и спортсмен, рассматриваемые как единая система, взаимодействуют только с барабанами и гравитационным полем Земли. Ни барабаны, ни гравитация не тормозят вращение ленты, то есть на систему "лента + спортсмен" не действует внешняя тормозящая сила.
Поэтому спортсмен приобретает импульс за счет того, что лента его теряет:
$mV = (m + M)V^{ \prime} \Rightarrow V^{ \prime} = mV/(M + m)$.
Двигаясь с такой скоростью относительно земли спортсмен сдвинется на $L/2$ и окажется на краю тренажера через время $L/(2V^{ \prime})$.
Ответ: Через время $(M + m)L/(2mV)$ спортсмен окажется на краю тренажера.