2019-02-27
Цезарь решил испытать своих легионеров. Он закрепил катапульту на краю вращающегося горизонтального диска радиуса $R$ и велел попасть из нее в середину мишени, расположенной в центре диска (см. рис.). Катапульта может стрелять под любым углом к горизонту и в любом направлении со скоростью $V$. При каких значениях $V$ легионеры смогут выполнить приказ Цезаря? Угловая скорость вращения диска равна $\omega$, ускорение свободного падения $g$ сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Разложим вектор начальной скорости вылета снаряда (относительно катапульты) на две составляющие $\vec{V} = \vec{u} + \vec{v}$, где $\vec{u}$ - по касательной к диску, a $\vec{v}$ - вектор, лежащий в плоскости, перпендикулярной касательной (см. рис.).
Катапульта движется во время выстрела относительно мишени со скоростью $\omega R$, поэтому и снаряд в момент выстрела имеет дополнительно эту скорость. Очевидно, что для попадания в цель, необходимо компенсировать эту скорость, т.е. положить $u = \omega R$, так чтобы относительно земли снаряд не имел составляющей скорости, направленной по касательной к диску.
Рассмотрим теперь вторую компоненту вектора скорости. Известно, что при фиксированной скорости максимальная дальность полета достигается при угле вылета равном $45^{ \circ}$. Отсюда ясно, что для попадания в мишень с минимально возможной скоростью вылета, нужно, чтобы вектор $\vec{v}$ составлял угол $45^{ \circ}$ с плоскостью диска.
Найдем величину этой компоненты. Уравнение движение снаряда:
$x(t) = v \cos 45^{ \circ} t, y(t) = v \sin 45^{ \circ} t - gt^{2}/2$. (2)
Из второго равенства, положив $y(t) = 0$, находим время полета $T = 2v \sin 45^{ \circ}/g$.
Подставляя $T$ в первое из уравнений движения (2), получаем дальность $R = v \cos 45^{ \circ} 2v \sin 45^{ \circ}/g = v^{2}/g$. Следовательно $v^{2} = gR$.
Таким образом, для минимальной скорости получаем следующее выражение: $V = \sqrt{u^{2} + v^{2}} = \sqrt{ \omega^{2}R^{2} + gR}$
Ответ: При скорости $V \geq \sqrt{ \omega^{2}R^{2} + gR}$.