2019-02-27
На гладком столе лежит тонкое кольцо массы $M_{1}$ и радиуса $R$. На него сверху кладут шероховатое кольцо такого же радиуса, которое вращается с угловой скоростью $\omega$. Масса верхнего кольца равна $M_{2}$. Пренебрегая трением нижнего кольца о стол, определите, какая угловая скорость вращения колец на столе установится через большой промежуток времени. Сколько тепла выделится при установлении этого вращения?
Решение:
Способ I
Так как в системе действует трение, часть механической энергии переходит в тепло. На вращающиеся кольца не действует внешних сил, тормозящих вращение. То есть верхнее кольцо раскручивает нижнее за счет того, что его собственное вращение тормозится. Строго говоря, кусочки верхнего и нижнего колец массами $\Delta m_{1}$ и $\Delta m_{2}$, имея скорости $V_{1}$ и $V_{2}$, с помощью силы трения обмениваются друг с другом импульсом, пока скорости вращения не выравниваются (см. рис.). При этом закон сохранения импульса для маленьких кусочков в проекции на направление движения этих кусочков в данный момент всегда выполняется: $\Delta P = \Delta m_{1} V_{1} + \Delta m_{2}V_{2} = const$. Значит, и суммарная величина импульсов всех кусочков $P$, спроецированных на направление их движения, неизменна. В начальный момент, когда движется только верхнее кольцо, эта величина равна $M_{2} \omega R$. В конце, когда угловые скорости вращения обоих колец стали равны одной и той же величине $\omega^{ \prime}$, величина $P = (M_{1} + M_{2}) \omega^{ \prime}R$, откуда
$M_{2} \omega R = (M_{1} + M_{2}) \omega^{ \prime} R \Rightarrow \omega^{ \prime} = \frac{M_{2} }{M_{1} + M_{2} } \omega$.
Все точки вращающегося кольца имеют одну и ту же скорость. Значит, кинетическая энергия верхнего кольца первоначально $E = M_{2}( \omega R)^{2}/2$. В конце оба кольца имеют одинаковую угловую скорость $\omega^{ \prime}$, поэтому их кинетическая энергия $E^{ \prime} = (M_{1} + M_{2})( \omega^{ \prime} R)^{2}/2$. Разность этих энергий дает выделившееся в системе тепло
$U = \frac{M_{2} \omega^{2}R^{2} }{2} - \frac{(M_{1} + M_{2} )R^{2} }{2} \left ( \frac{M_{2} }{M_{1} + M_{2} } \omega \right )^{2} = \frac{M_{1}M_{2} \omega^{2} R^{2} }{2(M_{1} + M_{2} ) }$.
Способ II
Известно, что момент инерции кольца массой $M$ и радиуса $R$ равен $I = MR^{2}$. Момент импульса системы из двух колец сохраняется, т.к. мы пренебрегаем трением нижнего кольца о стол. В итоге, кольца будут вращаться с одинаковой угловой скоростью $\omega^{ \prime}$. Запишем закон сохранения момента импульса $I_{2} \omega = I_{1} \omega^{ \prime} + I_{2} \omega^{ \prime}$; расписав моменты инерции получаем
$M_{2}R^{2} \omega = M_{1}R^{2} \omega^{ \prime} + M_{2}R^{2} \omega^{ \prime} \Rightarrow \omega_{k} = \frac{M_{2} }{M_{1} + M_{2} } \omega$.
Вращательная кинетическая энергия кольца имеет вид $E^{ \prime} = I \omega^{2}/2$. Тогда закон сохранения энергии для нашей системы запишется следующим образом:
$\frac{I_{2} \omega^{2}}{2} = \frac{I_{1} \omega^{ \prime 2} }{2} + \frac{I_{2} \omega^{ \prime 2} }{2} + U$,
где $U$ - выделившаяся в виде тепла. Подставляя в эту формулу $I_{1,2} = M_{1,2}R^{2}$ и $\omega^{ \prime}$, получаем
$U = \frac{M_{1}M_{2} \omega^{2} R^{2} }{2 (M_{1} + M_{2} )}$.
Ответ: Установившаяся угловая скорость окажется равной $\omega^{ \prime} = M_{2}\omega/(M_{1} + M_{2})$. Количество выделившегося тепла составит $U = M_{1}M_{2} \omega^{2}R^{2}/(2M_{1} + 2M_{2})$.