2019-02-27
Дракон Смог завис над лучником Бэрдом, при этом центр масс тела дракона (без крыльев) и центр масс его крыльев двигаются по вертикали. На рисунке изображены соответствующие графики вертикальной скорости $V(t)$ для центра масс тела (сплошной линией) и центра масс крыльев (пунктирной линией). Также представлен график для тела, падающего вертикально с ускорением $g$ (наклонная линия с углом $45^{ \circ}$). Вертикальная составляющая силы взаимодействия крыла дракона (тела дракона) с воздухом пропорциональна вертикальной скорости центра масс крыла (тела). Найдите отношение массы тела к массе крыльев дракона.
Решение:
Обозначим массу тела без крыльев $M$, массу обоих крыльев $m$, искомую величину $M/m = x$.
Заметим, что на графике скорости есть точки (в моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$), где скорости и тела и крыльев равны нулю. Следовательно, в эти моменты кроме силы тяжести в проекции на вертикальную ось никакие силы на дракона не действуют. Будем рассматривать именно эти моменты времени. Обозначим силу, с которой крылья тянут тело дракона вверх, через $T$. По третьему закону Ньютона, тело с такой же силой тянет крылья вниз. Тогда второй закон Ньютона для крыльев и тела в проекции на ось, направленную вниз, имеет вид соответственно
$ma_{1} = mg + T$
$Ma_{2} = Mg - T$,
где $a_{1}$ и $a_{2}$ - ускорение крыльев и тела соответственно. Сложив уравнения, исключим внутреннюю силу "натяжения" $T$, получим $ma_{1} + Ma_{2} = (m + M)g$. Разделив последнее равенство на $m$, получим
$a_{1} + xa_{2} = g + xg \Rightarrow x = \frac{a_{1} - g }{g - a_{2} }$.
Ускорения $a_{1}$ и $a_{2}$ можно найти из рис., рассмотрев тангенсы углов наклона к графикам в точках, где они пересекают ось абсцисс. Так например, для момента $t_{1}$
$a_{1} = - tg \alpha_{1} = - 3g \: a_{2} = tg \alpha_{2} = 2g \Rightarrow x = \frac{a_{1} - g }{g - a_{2} } = \frac{-3 - 1}{1 - 2} = 4$.
Вместо этого можно было воспользоваться куском графика в момент $t_{2}$:
$a_{1}^{ \prime} = - tg \alpha_{1}^{ \prime} = 9g \: a_{2}^{ \prime} = tg \alpha_{2}^{ \prime} = -g \Rightarrow x = \frac{a_{1} - g }{g - a_{2} } = \frac{9 - 1}{1 + 1} = 4$.
Так как измерения на графике могли сопровождаться погрешностью, использование обеих точек $t_{1}, t_{2}$ позволяет минимизировать эту погрешность.
Ответ: Масса дракона без крыльев относится к массе его крыльев как $M/m = 4$.