2019-02-27
Маленький шарик массы $m$, закрепленный на вертикальной пружине расположили под столом с отверстием, в положении равновесия шарик находится посередине отверстия. Обнаружилось, что если шарик отклонить вниз на произвольное расстояние и отпустить, он колеблется вокруг положения равновесия с периодом $T_{0}$. Над отверстием поставили тело массой $m$ (см. рис.) и снова вывели шарик из положения равновесия. Определить период колебаний системы, если известно, что максимальная скорость шарика $v_{m}$. Шарик и тело соударяются абсолютно упруго; тело, подскакивая, движется строго вертикально. Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения $g$.
Решение:
При абсолютно упругом ударе шарика о тело вся кинетическая энергия шарика перейдет телу, так как их массы равны. Действительно, это видно из законов сохранения импульса и энергии
$mv = mv_{1} + mv_{2}, \frac{mv^{2}}{2} = \frac{mv_{1}^{2}}{2} + \frac{mv_{2}^{2}}{2}$,
где v - скорость шарика до удара, $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости шарика и тела после соударения. Несложно видеть, что из них получаются соотношения $v_{2} = v - v_{1}$ и $v_{1}v_{2} = 0$, из последнего очевидно, что одна из скоростей после удара обращается в ноль. Естественно выбрать $v_{1} = 0, v_{2} = v$, другой выбор отвечает отсутствию удара, когда шарик продолжил движение, а тело осталось неподвижным.
В нашем случае во время удара шарик проходит положение равновесия, а следовательно его скорость максимальна и равна $v_{m}$. В самом деле, чтобы сдвинуть шарик из положения равновесия, надо совершить работу и, соответственно, затратить энергию. При колебаниях эта работа совершается за счет кинетической энергии. Значит, в положении равновесия кинетическая энергия и скорость шарика максимальны. После удара тело двигается вверх с той же начальной скоростью $v_{m}$, что и шарик до удара. Значит, уравнение его движения
$y(t) = v_{m} t - gt^{2}/2, v = v_{m} - gt$,
где $y(t)$ - высота тела над с толом, $v(t)$ - его скорость.
Найдем время, через которое тело вернется на стол. Это произойдет при $y = 0$, т.е. в момент $t = 2v_{m}/g$; скорость тела в этот момент составит - $v_{m}$, отрицательный знак означает, что тело движется вниз.
Далее вновь происходит абсолютно упругий удар, после которого вся энергия передается шарику, и он начинает движение вниз с начальной скоростью $- v_{m}$, сжимая пружинку. При этом груз начинает двигаться так же, как он бы двигался при свободных колебаниях. Значит время до следующего удара равно половине периода свободных колебаний шарика $T_{0}/2$. Это время, через которое шарик вернется в положение равновесия.
В итоге период движения нашей системы получается как сумма времени, которое тело проводит в полете над столом, т.е. $2v_{m}/g$, и половины периода движения груза на пружинке $T_{0}/2$.
Ответ: Период окажется равным $T = \frac{2v_{m}}{g} + \frac{T_{0}}{2}$.