2019-02-22
Поршень массы $M = 2 кг$ может с трением скользить внутри вертикальной неподвижной трубы. Сначала поршень прикрепили внутри трубы к потолку пружиной жесткостью $k_{1} = 20 Н/м$, длина которой в нерастянутом состоянии $l_{1} = 60 см$. Поршень расположили на уровне середины трубы, отпустили, и он остался неподвижен. Затем опыт повторили, поменяв пружину - жесткость новой пружины стала $k_{2} = 10 Н/м$, а длина в нерастянутом состоянии $l_{2} = 20 см$. Удивительно, но поршень в середине трубы снова остался неподвижен. При каких значениях силы трения поршня о трубу это возможно? Влиянием воздуха пренебречь, $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Длина трубы по условию не дана, обозначим ее за $L$. Тогда растяжение равно $x_{1} = \left ( \frac{L}{2} - l_{1} \right )$ (см. рис , на обоих картинках $l$ - может быть как $l_{1}$, так $l_{2}$). Проекция силы упругости, на вертикальную, направленную вверх ось, равна $F_{1} = k_{1} \left ( \frac{L}{2} - l_{1} \right )$. Длины пружин в нерастянутом положении могут быть как больше $L/2$, так и меньше, то есть сила упругости может действовать на неподвижный поршень как вверх, так и вниз. Для второй пружины аналогично $x_{2} = \left ( \frac{L}{2} - l_{2} \right ), F_{2} = k_{2} \left ( \frac{L}{2} - l_{2} \right )$
Поршень у нас остается неподвижным, это значит, что на него действует сила трения покоя, которая компенсирует результирующую сил упругости и тяжести. Сила трения покоя может не достигать силы трения скольжения и быть направлена в любую сторону. Но, сила трения покоя, по модулю, не может превышать критического значения силы трения скольжения ($F_{max}$), иначе поршень поедет.
В проекциях на вертикальную ось второго закона Ньютона (см.рис) это условие можно записать в виде двойного неравенства:
$-F_{max} \leq k_{1} \left ( \frac{L}{2} - l_{1} \right ) - Mg \leq F_{max}$, (1)
Для второй пружинки аналогично:
$-F_{max} \leq k_{2} \left ( \frac{L}{2} - l_{2} \right ) - Mg \leq F_{max}$, (2)
Для каждой пружинки поршень оставался неподвижным, неравенства (1) и (2) должны выполняться одновременно. Но это возможно не при любых значениях максимальной силы трения $F_{max}$. Для того, чтобы получить условие на $F_{max}$ преобразуем неравенство (1):
$-F_{max} + Mg \leq k_{1} \left ( \frac{L}{2} - l_{1} \right ) \leq F_{max} + Mg$,
$\frac{-F_{max} + Mg }{k_{1} } + l_{1} \leq \frac{L}{2} \leq \frac{F_{max} + Mg }{k_{1} } + l_{1}$. (3)
Точно таким же образом можно преобразовать неравенство (1), для него получится:
$\frac{-F_{max} + Mg }{k_{2} } + l_{2} \leq \frac{L}{2} \leq \frac{F_{max} + Mg }{k_{2} } + l_{2}$. (4)
Теперь подставим числа и получим два двойных неравенства:
$\begin{cases} - \frac{-F_{max} }{20} + 1,6 \leq \frac{L}{2} \leq \frac{F_{max} }{20} + 1,6 \\ - \frac{-F_{max} }{10} + 2,2 \leq \frac{L}{2} \leq \frac{F_{max} }{10} + 2,2 \end{cases}$ (5)
Для того, чтобы эта система была совместной, необходимо, чтобы число в правой части верхнего неравенства было больше либо равно левого числа в нижнем.
$- \frac{F_{max} }{10} + 2,2 \leq \frac{F_{max} }{20} + 1,6$,
отсюда $F_{max} \geq 4 Н$. Подстановкой легко убедиться, что число в правой части нижнего неравенства больше либо равно левого числа в верхнем.
Таким образом, неравенства совместны, когда максимальная сила трения покоя превышает 4 Н. Стоит отметить, что это даже если $F_{max}$ удовлетворяет этому условию, оба поршня смогут остаться неподвижными не при любых значениях длины трубы $L$, а только при таких, которые удовлетворяют неравенствам (5).
Ответ: Это возможно, когда сила трения больше 4 Н.