2019-02-20
Полая трубка, изогнутая в форме равностороннего треугольника, въезжает со скоростью $u$ в полупространство, где создано однородное магнитное поле индукции $B$; (заштриховано на рис.). Направление $B$ перпендикулярно плоскости рисунка; в незаштрихованном полупространстве поле отсутствует. Внутри трубки имеется тонкая замкнутая натянутая цепочка массы $M$, которая может без трения скользить по трубке. Цепочка заряжена с линейной плотностью заряда $\sigma$, первоначально она покоится относительно трубки. Определите скорость движения цепочки относительно трубки как функцию времени.
Решение:
Через время $t$ треугольник въедет в область с магнитным полем на расстояние $x = ut$ (см. рис.). В поле окажется часть цепочки длиной $L = 2x/ \cos 30^{ \circ}$ (выделена серым на рисунке); заряд цепочки, оказавшийся в магнитном поле
$Q = L \sigma = \frac{2x \sigma}{ \cos 30^{ \circ}} = \frac{2ut \sigma}{ \cos 30^{ \circ}}$.
Силы Лоренца, действующие со стороны магнитного поляна каждый из двух отрезков цепочки, $F = (Q/2)Bu$ направлены по правилу левой руки, в данном случае налево относительно рисунка. Компоненты (проекции) этой силы, перпендикулярные отрезкам цепочки, компенсируются силой реакции трубки, поэтому их можно не рассматривать.
Компоненты $F_{1}$ и $F_{2}$, направленные вдоль цепочки, разгоняют цепочку относительно трубки. Легко найти эти компоненты $F_{1} = F_{2} = (QBu \cos 60^{ \circ})/2$ и при помощи второго закона Ньютона найти ускорение цепочки вдоль трубки:
$ma = F_{1} + F_{2}$,
отсюда
$a = (F_{1} + F_{2})/m = QBu \cos 60^{ \circ} /m = 2 \sigma Bu^{2}t^{2}/( \sqrt{2} m)$.
Итак, ускорение цепочки в трубке линейно растет со временем.
Соответственно, скорость цепочки растет квадратично, $V(t) = \sigma Bu^{2}t^{2}/( \sqrt{3}m)$