2019-02-20
Для бытовых нужд была изготовлена модель часов с подсветкой. Центр циферблата подключен через источник питания к точке на его ободе, соответствующей времени 12-00. Обе стрелки часов проводят электрический ток и касаются своими концами обода циферблата, при этом сопротивление минутной стрелки в три раза больше, чем сопротивление часовой. Сам обод так же состоит из проводящего материала, однородного по всей длине, который светится, когда по нему проходит сколь угодно малый электрический ток. На часах полночь. Укажите все моменты времени за последующие двенадцать часов, когда на ободе циферблата можно увидеть не светящуюся дугу.
Решение:
В произвольный момент времени весь обод циферблата можно разделить на три части: дуга, зажатая между стрелками, и две дуги, соединяющие стрелки c 12-00, Вместе е двумя стрелками они образуют соединение "мостик", где роль самого "мостика" играет дуга между стрелками.
Чтобы часть циферблата не светилась, необходимо чтобы проходящий через нее ток равнялся нулю. Это возможно для дуги $R_{3}$, если "мостик" сбалансирован:
$R_{1} r_{m} = R_{2} r_{h}$. (1)
Введем следующие обозначения: $\phi_{1}$ - угол отклонения часовой стрелки от 12-00, $\phi_{2}$ -угол отклонения минутной стрелки от 12-00, $n$ - количество полных часов, прошедших с полуночи, $t$ - время, прошедшее с начала текущего часа, $T = 1 час$, Необходимо рассмотреть два случая: $\phi_{1} > \phi_{2}$ и $\phi_{1} < \phi_{2}$. Поэтому прежде всего нужно найти все моменты, когда часовая и минутная стрелка совпадают, С учетом того, что угловые скорости часовой и минутной стрелок равны $\frac{ \pi}{6T}$ и $\frac{2 \pi}{T}$ - соответственно, получим:
$\phi_{1} = \frac{ \pi}{6T} (nT + t)$
$\phi_{2} = \frac{2 \pi}{T} t$. (2)
Теперь можно без труда найти все моменты совпадения $T_{n} = nT + t_{n}$:
$\frac{ \pi}{6T} (nT + t_{n} ) = \frac{2 \pi}{T}t_{n} \Rightarrow t_{n} = \frac{T}{11}n \Rightarrow T_{n} = \frac{12}{11} nT$. (3)
Теперь перейдем к нахождению "темных моментов", С учетом того, что сопротивления $R_{1}$ и $R_{2}$ относятся как длины соответствующих дуг, можно записать уравнения баланса для мостика в обоих случаях:
$r_{m} \left ( 1 - \frac{ \phi_{1} }{2 \pi} \right ) = r_{h} \frac{ \phi_{2} }{2 \pi}, 0 < t < t_{n}$, (4)
$r_{h} \left ( 1 - \frac{ \phi_{2} }{2 \pi} \right ) = r_{m} \frac{ \phi_{1} }{2 \pi}, t_{n} < t < T$. (5)
С учетом (2) получим:
$t = \frac{12 - n}{12 \frac{r_{h} }{r_{m} } + 1 }T, 0 < t < \frac{n}{11} T$.
$t = \frac{12 \frac{r_{h} }{r_{m} } - n}{12 \frac{r_{h} }{r_{m} } + 1 }T, \frac{n}{11}T < t < T$. (6)
Для получения ответа необходимо перебрать все $n$ от 1 до 11 и найти все моменты, когда выполняется одно из условий (6), Решения можно найти только при $n = 0, 1, 2, 9, 10, 11$.
Ответ: 0-00, 0-48, 1-36, 2-24, 9-36, 10-24, 11-12, 12-00.