2019-02-12
На шероховатом полу около вертикальной гладкой стены стоит ящик массой M (см. рис.). Однородный массивный стержень OA шарнирно прикреплен к ящику в точке O. Определите при каких значениях коэффициента трения ящика о пол $\mu$, система будет оставаться неподвижной. Масса стержня $m$, расстояние от шарнира до стены равно $a$, расстояние от точки A до ящика равно $b$. Трением в шарнире пренебречь.
Решение:
Рассмотрим условия того, что система находится в покое. На рисунке изображены все силы, приложенные к ящику (зеленые стрелки) и к стержню OA (синие стрелки). Обратите внимание, что сила реакции $R$ в шарнире в общем случае направлена не вдоль стержня.
Введем оси, как показано на рисунке. Обозначим величины проекций силы $R$ на оси x и у через $R_{x}$ и $R_{y}$ соответственно.
Выпишем второй закон Ньютона для стрежня в проекциях на оси x и у:
$N_{1} - R_{x} = 0, R_{y} - mg = 0$.
Поскольку стержень не вращается, сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки для него должна быть равна нулю. Рассмотрим моменты относительно точки O (при таком выборе момент силы $R$ равен нулю):
$N_{1}b - mg \frac{a}{2} = 0$
Второй закон Ньютона для ящика в проекциях на оси x и у дает
$-F_{тр} + R_{x} = 0, N_{2} - Mg - R_{y} = 0$.
Решая систему полученных уравнений и вспоминая, что сила трения покоя должна удовлетворять неравенству $F_{тр} \leq \mu N_{2}$, находим
$mg \frac{a}{2b} \leq \mu (M + m)g$.
Отсюда уже легко найти требование, которому должен подчиняться коэффициент трения, для того чтобы система оставалась в покое:
$\mu \geq \frac{m}{(M + m)} \frac{a}{2b}$.
Ответ: Коэффициент трения ящика о пол должен удовлетворять условию $\mu \geq \frac{ma}{2}(M + m)b$.