2019-02-12
Аквариум заполнен водой плотности $\rho$ (см. рис.). Дно аквариума представляет собой прямоугольник со сторонами $l$ и $b$. Когда аквариум покоится, высота воды в нем равна $h$. Аквариум стали разгонять вправо с постоянным ускорением $a$. Определите силы давления воды на дно аквариума и на стенку CD. Вклад атмосферного давления не учитывать. Во время движения вода из аквариума не выливается. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
В данной задаче представляет интерес лишь подсчёт силы, оказываемой непосредственно водой на дно и стенки без учёта вклада атмосферного давления.
Сила давления на дно сосуда находится из соображений вертикального равновесия системы. Назовём силу давления воды на дно $\vec{F}_{дно}$. Тогда сила реакции опоры, действующая со стороны дна на воду, противоположна силе давления и равна $- \vec{F}_{дно}$. Запишем второй закон Ньютона для воды в проекции на вертикальную ось, направленную вниз. Поскольку в данной задаче параллельно этой оси действуют только сила тяжести и сила реакции опоры, то
$mg + (- F_{дно}) = 0$, (1)
где $m = \rho lbh$ - масса воды, а ось направлена вниз. Другие силы, действующие на воду - силы реакции со стороны стенок, - направлены горизонтально как в состоянии покоя, так и в процессе ускорения. Поэтому уравнение (1) верно и во время движения, и
$F_{дно} = \rho blhg$ (2)
есть ответ на первый вопрос задачи.
Для нахождения силы давления воды на стенку CD перейдём в неинерциальную систему отсчёта (НИСО), связанную с аквариумом, т.е. движущуюся с ускорением $\vec{a}$ вправо. В такой НИСО на любое тело массы $m$ действует сила $- m \vec{a}$. Поэтому можно говорить, что на все массивные тела в этой НИСО находятся в поле «модифицированной силы тяжести» с «модифицированным ускорением свободного падения» $\vec{g}^{ \prime} = - \vec{a} + \vec{g}$.
Как известно, в состоянии покоя поверхность воды перпендикулярна ускорению свободного падения. В нашей НИСО в качестве такового следует рассматривать $\vec{g}^{ \prime}$, так что поверхность воды будет образовывать угол $\alpha$ с горизонталью, где $tg \alpha = a/g$ (см. Рис.). В дальнейшем нам потребуется использовать высоту воды при правой стенке CD. При отклонении уровня воды от $O^{ \prime}O^{ \prime}$ до PQ ее объем не меняется, поэтому треугольники $POO^{ \prime}$ и $O^{ \prime \prime}OQ$ будут равны. Тогда уровень воды при правой стенке CD будет равен
$|QD| = h - \frac{l}{2} tg \alpha = h - \frac{la}{2g}$ (3)
Давление воды на одном и том же расстоянии от поверхности будет одинаково и равно $\rho g^{ \prime} z$. Найдём давление вблизи правой стенки на глубине $x$ (см. Рис. ). Расстояние до поверхности воды будет $z = x \cos \alpha$, при этом $\cos \alpha = g/g^{ \prime}$. Так что
$p(x) = \rho g^{ \prime} z = \rho g^{ \prime} x \cos \alpha = \rho gx$. (5)
Следовательно, давление на глубине $x$ будет таким же, как если бы вода покоилась в наклонном положении в инерциальной системе отсчета. Таким образом, задача сводится к подсчёту силы давления водяного столба высотой $|QD|$ на вертикальную стенку ширины b в обычном поле тяжести. Давление с глубиной меняется линейно, поэтому среднее значение давления на стенку равно давлению на половине высоты водяного столба ($\rho g |QD|/2$). Тогда сила давления равна
$F_{бок} = \left ( \rho g \frac{|QD|}{2} \right ) \left ( |QD|b \right ) = \frac{1}{2} \rho g \left (h - \frac{la}{2g} \right )^{2} b$. (6)
Однако данная формула справедлива лишь для случая, когда ускорение $\vec{a}$ достаточно мало для того, чтобы вода касалась правой стенки CD аквариума. Если же ускорение будет слишком сильным, то вода отойдёт от правой стенки (см. Рис.). Тогда сила давления воды на правую стенку станет равна нулю $F_{бок} = 0$. Условием реализации такого случая является
$tg \alpha = \frac{a}{g} \geq \frac{2h}{l}$,
т.е.
$a \geq 2g \frac{h}{l}$. (7)
Объединяя (6) и случай (7), можно записать
$F_{бок} = \begin{cases} \frac{1}{2} \rho g \left ( h - \frac{la}{2g} \right )^{2} b,& a < 2g \frac{h}{l} \\ 0, & a \geq 2g \frac{h}{l} \end{cases}$, (8)
что есть ответ на второй вопрос.
Ответ: За вычетом атмосферного давления, давление воды на дно сосуда равно $\rho blhg$. Давление на стенку CD дается выражением (8).