2019-01-14
На платформе установлена пушка, которая стреляет вертикально вверх теннисными шариками со скоростью $u = 75 м/c$ относительно платформы. Конструкция едет со скоростью $v = 15 м/с$ к стене и начинает тормозить, когда расстояние до стены остается $L = 225 м$, с ускорением $a = 0,5 м/c^{2}$ до полной остановки. Через какое время с начала торможения надо выстрелить, чтобы снаряд упал как можно дальше от стены, если удар шарика о стену абсолютно упругий? Ускорение свободного падения $g = 10 м/c^{2}$, размерами конструкции пренебречь. Высота стены — 300 м.
Решение:
При отражении от стенки вертикальная составляющая скорости шарика не меняется, что означает, что полное время полета шарика определяется начальной скоростью $u$ и ускорением $g:t_{0} = 2 \frac{u}{g}$.
Вдоль горизонтали теннисный шарик движется равномерно со скоростью, равной скорости тележки в момент старта шарика. Скорость тележки определяется уравнением $v_{x} = v - at$, где $t$ - время, прошедшее с начала движения тележки. Таким образом расстояние, которое пролетит шарик вдоль горизонтали, может быть выражено формулой $S = v_{x}t_{0} = (v - at)2 \frac{a}{g}$, в том случае, если стены нет. Так как высота стены больше, нежели высота, на которую может подняться шарик ($300 > 2 \frac{u^{2}}{2g}$), то шарик точно столкнется со стенкой.
При отражении от стенки, скорость шарика меняется на противоположную по направлению, т.е. шарик начинает удаляться от стенки. Рассмотрим расстояние от тележки до стены в момент старта шарика. Тележка движется равнозамедленно, таким образом, до стены шарику остается лететь $l = L - \left (vt - \frac{at^{2} }{2} \right )$. Тогда, чтобы определить расстояние до стены, на котором приземлился теннисный шарик, надо из общей длины возможного пути по горизонтали вычесть расстояние до стены в момент старта:
$x = S - l = (v - at)2 \frac{u}{g} - \left (L - \left (vt - \frac{at^{2} }{2} \right ) \right ) = - \frac{at^{2} }{2} + \left (v - \frac{2au}{g} \right )t + \left ( \frac{2vu}{g} - L \right ) t$
Данное уравнение является параболой относительно переменной $t$, ветви которой направлены вниз, что означает что у неё существует максимум в вершине:
$- \frac{B}{2A} = \frac{ \left (v - \frac{2au}{g} \right )}{a}$
Ответ: $t =15 секунд$.