2019-01-14
На столе стоят четыре одинаковых золотых слитка, основание которых — равносторонние треугольники (см. рис.). Слитки сдавливают с боков тремя деревянными пластинами с одинаковой силой. Чтобы начать вытаскивать все четыре слитка сразу, требуется приложить силу не меньше чем $F_{1}$. Для того, чтобы достать только центральный, придерживая оставшиеся три, приходится прилагать силу не меньше чем $F_{2}$. Какую минимальную силу надо приложить, чтобы начать вытаскивать угловой слиток, зафиксировав остальные? Масса каждого слитка — $m$, ускорение свободного падения — $g$.
Решение:
Из симметрии задачи следует, что силы давления, действующие на слитки со стороны пресса, равны. Обозначим силу, действующую со стороны пресса на каждый на крайние слитки $N_{1}$ (см. рис.). Аналогично равны и силы $N_{2}$, действующие на центральный слиток со стороны крайних. Пусть коэффициенты трения дерева о золото и золота о золото равны $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ соответственно. Сила трения действует против вытаскивания слитков, минимальная сила соответствует движению слитков без ускорения.
При вытаскивании всех четырех слитков сразу, на слитки, кроме силы $F_{1}$, действует сила тяжести $4mg$ и сила трения трех крайних слитков о деревянные пластины $6 \mu_{1}F_{1}$:
$F_{1} = 4mg + 6 \mu_{1} N_{1}$
Чтобы начать вытаскивать центральный слиток, необходимо приложить силу $F_{2}$:
$F_{2} = mg + 3 \mu_{2}N_{2}$
Для того, чтобы вытащить крайний слиток, прилагая при этом минимальную силу $F_{3}$, необходимо "преодолеть" силу тяжести, силу трения золота о золото и золота о дерево:
$F_{3} = mg + 2 \mu_{1}N_{1} + \mu_{2}N_{2}$
Таким образом, выражая $F_{3}$ через $F_{2}$ и $F_{1}$ получим
Ответ: $F_{3} = \frac{1}{3} (F_{1} + F_{2} - 2mg)$