2019-01-14
Фокусник Гена поставил на пол комнаты прожектор, испускающий вертикально вверх нерасширяющийся луч света круглого сечения радиуса $R$. Гена хочет осветить весь пол в комнате с помощью дискошара (зеркальной сферы), подвешенного точно над прожектором (см. рис.). Какой максимальный радиус $r$ дискошара может выбрать фокусник, если размеры комнаты ему неизвестны?
Решение:
Для того, чтобы осветить пол в комнате любого размера необходимо, чтобы при отражении от сферы луча прожектора, существовал луч света, идущий горизонтально, параллельно с полом. Если радиус дискошара $r$ меньше, чем радиус прожектора $R$, то такой луч найдется всегда. Значит, для поиска максимального радиуса $r$ необходимо рассмотреть ход луча света из точки A, находящейся на расстоянии $R$ от центра прожектора (см. рис.), радиус которого меньше радиуса сферы. Построим перпендикуляр $l$ к радиусу сферы в точке B. Угол падения луча на прямую $l$ будет равен углу отражения $\alpha$. Чтобы луч отражался горизонтально, должно выполняться условие $180^{ \circ} = 2 \alpha + 90^{ \circ}$. Таким образом, $\alpha = 45^{ \circ}$.
Построим прямую $k$, соединяющую центры прожектора и дискошара, и обозначим за $N$ точку пересечения прямых $k$ и $l$ . По условию задачи, луч прожектора идет вертикально вверх, что означает, что угол между прямой $l$ и прямой $k$ тоже равен $\alpha$. Построим перпендикуляр из точки B к прямой $k$ и обозначим их пересечение точкой M. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMO: OB = r, BM = R$, а угол $OBM = \alpha$ по подобию с прямоугольным треугольником $OBN$. Таким образом, $\cos \alpha = \cos 45^{ \circ} = R/r$.
Ответ: Максимальный радиус дискошара $r = \sqrt{2}R$.