2019-01-14
Однажды поваренок Рататуй получил задание сварить кисель на большую компанию. Он замешал некоторое количества густого киселя (жидкость А) в прямоугольном сосуде. Взглянув в кастрюлю, он понял, что кисель получается слишком густым, и залил его в два раза большим объемом воды (В). Жидкости имеют разные плотности и не смешиваются. После этого, нагнувшись над кастрюлей, он случайно уронил туда мобильник, который начал плавать на границе раздела жидкостей (см. рисунок). Пока поваренок безуспешно пытался вытащить телефон, кисель е водой смешались; общий объем жидкости не изменился. Герметичный телефон, имеющий форму параллелепипеда, остался плавать на том же месте. Определите, какая часть телефона находилась в киселе до смешивания жидкостей.
Решение:
До смешивания жидкостей часть телефона плавала в воде, а часть - в киселе. Обозначим объем той части, которая плавала в киселе, за $V_{1}$, а объем той части, что была в воде - $V_{2}$. Сумма данных объемов равна общему объему телефона $V_{T} = V_{1} + V_{2}$. По условию задачи необходимо указать, какая часть телефона была погружена в кисель, что в наших обозначениях соответствует $V_{1}/V_{T}$.
Телефон не всплывал и не тонул, значит сила тяжести $F_{T}$ была скомпенсирована силой Архимеда $F_{apx}$. Сила Архимеда в данном случае может быть выражена как сумма сил, действующих на части телефона, находящиеся в разных жидкостях. Обозначим плотность воды $\rho_{A}$, а плотность киселя $\rho_{B}$, тогда баланс сил будет выглядеть следующим образом
$F_{T} = \rho_{A}gV_{1} + \rho_{B}g V_{2}$.
После смешивания жидкостей телефон остался плавать на том же месте, а значит сила тяжести вновь оказалась равна силе Архимеда. Обозначим начальный объем густого киселя за $V_{K}$, тогда после добавления воды (объем $2V_{K}$) общий объем жидкости будет равен $3V_{K}$. Суммарная масса жидкостей равна $M = \rho_{A} V_{K} + \rho_{B} 2 V_{K}$. Теперь несложно найти плотность жидкости после смешивания ($\rho_{C}$), учитывая тот факт, что общий объем не поменялся
$\rho_{C} = \frac{M}{3V_{K} } = \frac{1}{3} \rho_{A} + \frac{2}{3} \rho_{B}$.
Запишем баланс сил, действующих на мобильник, после смешивания
$F_{T} = \rho_{C} gV_{T} = \frac{1}{3} \rho_{A} g V_{T} + \frac{2}{3} \rho_{B} g V_{T}$.
Приравняем выражения для силы тяжести, полученные из баланса сил, до и после смешивания жидкостей
$\rho_{A} gV_{1} + \rho_{B}g V_{2} = \frac{1}{3} \rho_{A} g V_{T} + \frac{2}{3} \rho_{B}g V_{T}$. (3)
Видно, что мы можем сократить ускорение свободного падения $g$ с обеих сторон равенства. Кроме того, выразим объем верхней части телефона через его общий объем $V_{2} = V_{T} - V_{1}$, и подставим в равенство (3)
$\rho_{A}V_{1} + \rho_{B}V_{T} - \rho_{B}V_{1} = \frac{1}{3} \rho_{A} V_{T} + \frac{2}{3} \rho_{B} g V_{T}$.
Перенося слагаемые и вынося за скобки общий множитель, получаем следующее:
$( \rho_{A} - \rho_{B}) V_{1} = \frac{1}{3} ( \rho_{A} - \rho_{B}) V_{T}$.
Так как плотность киселя не равна плотности воды, можем сократить с обоих сторон равенства $( \rho_{A} - \rho_{B})$, и в итоге получить ответ
$\frac{V_{1} }{V_{T} } = \frac{1}{3}$.
Ответ: Телефон находился на $\frac{1}{3}$ часть в киселе до смешивания жидкостей.