2019-01-14
На столе стоят четыре одинаковых золотых слитка, основание которых равносторонние треугольники (см. рис.). Слитки сдавливают с боков тремя деревянными пластинами с одинаковой силой. Чтобы начать вытаскивать все четыре слитка сразу, требуется приложить силу не меньше чем $F_{1} = 740 Н$. Для того, чтобы достать только центральный, придерживая оставшиеся три, приходится прилагать силу не меньше чем $F_{2} = 215 Н$. Какую минимальную силу надо приложить, чтобы начать вытаскивать угловой слиток, зафиксировав остальные? Масса каждого слитка - $m = 12,5 кг$, постоянная $g = 10 Н/кг$.
Решение:
При вытаскивании всех четырех слитков нам будут противостоять две силы: сила трения между гранями слитков и деревянными пластинами, а также сила тяжести. Максимальная сила трения пропорциональна силе реакции опоры $N$ и равна $F_{тр} = \mu N$, где $\mu$ в нашем случае - коэффициент трения между деревянной пластиной и гранью золотого слитка. Силы реакции опоры, действующие со стороны пластин на грани слитков, равны из соображений симметрии конструкции. Действительно, силы, с которой сдавливают пластины, равны по условию, а все слитки одинаковые. Если равны силы реакции опоры, то равны и максимальные силы трения, которые действуют со стороны пластин на соприкасающиеся с ними грани слитков (обозначим каждую из этих сил за $F_{тр1}$)- Определим минимальную силу, которую нужно приложить для того, чтобы преодолеть силы трения и силы тяжести и вынуть все четыре слитка. Граней всего шесть, а значит искомая сила равна
$F_{1} = 6F_{тр1} + 4mg$
По условию $F_{1} = 740 Н$, масса слитка нам известна, отсюда можно найти максимальную силу трения между пластиной и гранью одного слитка:
$F_{тр1} = \frac{1}{6}(F_{1} - 4mg) = \frac{1}{6}(740 - 500) = 40 Н$.
При вытаскивании только центрального слитка наряду с силой тяжести нам будут противостоять силы трения меду гранями центрального слитка и соседних слитков. Из тех же соображений симметрии силы реакции опоры со стороны угловых слитков равны между собой по модулю. Следовательно и значения максимальных сил трения между центральным и каждым из боковых слитков равны (обозначим $F_{тр2}$). Таким образом, если мы вытаскиваем только центральный слиток, придерживая остальные, мы прикладываем к нему силу не меньшую $F_{2} = 3F_{тр2} + mg$. По условию $F_{2} = 215 Н$, тогда легко получить, что
$F_{тр2} = \frac{1}{3}(F_{2} - mg)= \frac{1}{3} (215 - 125) = 30 Н$.
Для того, чтобы вытащить угловой слиток, нужно кроме силы тяжести преодолеть силу трения между двумя гранями слитка и деревянными пластинами, а также силу трения со стороны центрального слитка. Максимальная сила трения, которая действует со стороны центрального слитка на угловой равна $F_{тр2}$, и её мы уже нашли, равно как и $F_{тр2}$. Осталось написать выражение и получить ответ:
$F_{3} = 2F_{тр1} + F_{тр2} + mg = 80 + 30 + 125 = 235 Н$
Ответ: Искомая сила равна 235 Н.