2019-01-14
Экспериментатор Раздолбайкин собрал из подручных материалов робота. Робот потребляет фиксированную мощность $P_{0} = 20 Вт$ и тратит ее на то, чтобы закручивать шурупы в следующем проекте Раздолбайкина. Робот не идеален, и часть мощности расходуется впустую, нагревая самого робота. График КПД робота $\eta$ от его температуры приведен на рисунке. Какое количество шурупов закрутит робот за десять минут работы в установившемся температурном режиме? Для того, чтобы закрутить шуруп, необходимо совершить работу $A = 40 Дж$.
Мощность теплоотдачи в окружающую среду пропорциональна разнице температур робота и среды и дается выражением $\alpha(T - T_{окр}), \alpha = 0,6 Вт/^{ \circ} С, T_{окр} = 20^{ \circ} С$.
Решение:
Определим сначала температуру робота в установившемся режиме. Для этого рассмотрим все относящиеся к нему тепловые процессы. Во-первых, робот получает тепло за счет того, что расходует впустую часть потребляемой мощности. По определению, КПД это та часть мощности, которая расходуется на полезную работу. Таким образом, на нагрев робота идет оставшаяся ее часть, то есть мощность $P_{0} (1 - \eta (T))$. В выражении мы отдельно отметили, что КПД робота зависит от температуры. С другой стороны, робот теряет тепло за счет отдачи в окружающую среду. Мощность этой теплоотдачи приведена в условии задачи и равняется $\alpha(T - T_{окр})$. В установившемся температурном режиме робот не нагревается и не охлаждается, то есть эти мощности равны друг другу
$P_{0} (1 - \eta (T)) = \alpha (T - T_{окр})$.
Для того, чтобы найти температуру робота в установившемся режиме, нужно воспользоваться графиком и определить явный вид $\eta(T)$. Легко заметить, что эта функция линейна, и мы можем узнать точное ее выражение по значениям в двум точках (например $20^{ \circ} С$ и $60^{ \circ} С$)
$\eta = 0,2 - (T - 20^{ \circ} С ) \frac{0,2}{40^{ \circ} С } = 0,2 - \frac{T - 20^{ \circ} С }{200^{ \circ} С }$.
Теперь мы можем решить уравнение, описывающее тепловой баланс робота, и найти температуру.
$P_{0} \left ( 1 - 0,2 + \frac{T - 20^{ \circ} С }{200^{ \circ} С } \right ) = \alpha (T- T_{окр} )$
$20 \left (0,8 - \frac{T}{200} - 0,1 \right ) = 0,6(T - 20)$
$14 + \frac{T}{10} = 0,6T - 12 \Rightarrow T = 52^{ \circ} С$
КПД робота при такой температуре будет равняться
$\eta = 0,2 - \frac{52 - 20^{ \circ} С}{200^{ \circ} С} = 0,04$.
Таким образом, полезная мощность робота равняется $P = \eta P_{0} = 0,8 Вт$. Можем проверить, что значение действительно подходит: теплоотдача робота в окружающую среду составляет $0,6(52 - 20) = 19,2 Вт$, а мощность его нагрева равняется $(1 - 0,04) \cdot 20 = 19,2 Вт$. Таким образом, робот не нагревается и не охлаждается.
За десять минут закручивания шурупов в установившемся режиме робот совершит $A_{r} = Pt = 0,8 Вт \cdot 600 с = 480 Дж$ полезной работы, чего будет достаточно для того, чтобы закрутить $N = A_{r}/A = 480/40 = 12$ шурупов.
Ответ: За десять минут работы в установившемся температурном режиме робот успеет закрутить 12 шурупов в следующем проекте Раздолбайкина.