2019-01-14
Космонавт летит в капсуле и хочет попасть на корабль Гермес. Корабль и капсула двигаются перпендикулярно друг другу со скоростями $v = 5 м/с$ (см. рис.). В начальный момент расстояние от капсулы до точки пересечения ее траектории и траектории корабля равно 3,2 км, а корабль находится на расстоянии 1,8 км до этой точки. В любой момент космонавт может катапультироваться и вылететь вбок относительно капсулы со скоростью 3 м/с. Когда именно космонавту следует катапультироваться, чтобы попасть на корабль?
Решение:
За время от начального момента и до катапультирования космонавта капсула пройдет некоторое расстояние $S_{1}$ в вертикальном направлении (вдоль оси OY, см. Рис.). Так как скорости капсулы и корабля равны. Гермес пройдет то же расстояние $S_{1}$, но по горизонтали (вдоль оси ОХ). Ясно, что $S_{1}$ и искомый момент времени. когда космонавту необходимо катапультироваться, связаны простым уравнением: $S_{1} = vt$. Поэтому мы определим расстояние $S_{1}$, а с его помощью найдём и время.
Рассмотрим движение космонавта в неподвижной системе отсчёта. Составляющая его скорости вдоль оси OY равна скорости капсулы и равна 5 м/с. Космонавт катапультируется вбок относительно капсулы, это значит, что он приобретает скорость 3 м/с вдоль оси ОХ (см. Рис.). Перед тем как попасть на корабль, космонавт должен пролететь по вертикали расстояние $S_{2} = 3200 м - S_{1}$. При том. что его скорость в этом направлении составляет 5 м/с. с кораблем он встретится через время $t_{1} = S_{2}/v = (3200 м - S_{1})/2$ от момента катапультирования.
Встречу с кораблем по горизонтальной оси легче рассматривать в системе отсчета, двигающейся вдоль оси ОХ со скоростью $u$ вбок. Космонавт в этой системе отсчета не имеет составляющей скорости вдоль ОХ. В этой системе отсчета корабль приближается к космонавту в горизонтальном направлении со скоростью $v^{ \prime} = v - u = 2 м/с$. а пройти ему по оси ОХ предстоит расстояние $S_{3} = 1800 м - S_{1}$. Так что время этого движения получается равным $t_{1} = S_{3}/v^{ \prime} = (1800 м - S_{1} )/2 м/с$.
Приравняв время $t_{1}$, выраженное из горизонтального и вертикального движения, мы находим $S_{1} = 2600/3 м$. Отсюда время, через которое космонавт должен катапультироваться, равно $t = S_{1}/v = 520/3 \approx 173,3 с$.
Ответ: Космонавту нужно катапультироваться через $t \approx 173,3 с$ после начального момента.