2019-01-14
Девочка Лена живет на улице AC длиной $L = 800 м$. В точках А и В находятся остановки. Рано утром, Лена выходит на остановку В. Но, так как мимо остановки А ходит больше автобусов, она начинает идти к ней. При этом, она постоянно оборачивается, чтобы посмотреть, не выехал ли её автобус из точки С. Лена знает, что когда бы не выехал автобус, она успеет добежать до одной из остановок, чтобы сесть на него. С какой скоростью бегает Лена? $AB = l = 300 м$, скорость автобуса равна $V_{A} = 52 км/ч$. Примечание: когда на остановке B нет людей, автобус может проехать мимо не останавливаясь.
Решение:
Через небольшое время после выхода с остановки B Лена может с легкостью на нее успеть, если увидит автобус. В процессе движения Лена доходит до некоторой точки D1, начиная с которой она может добежать до остановки А, если увидит автобус. Также можно выбрать точку D2, после прохода которой, Лена уже не успеет добежать до остановки B. По условию задачи отрезки B-D2 и D1-A пересекаются, т.к. есть область откуда Лена может добежать до любой из двух остановок, если увидит автобус. В частности, это означает, что точка D2 лежит правее D1. Чем больше скорость, с которой Лена может бегать, тем больше расстояние между D1 и D2. По мере уменьшения скорости Лены, точки D1 и D2 сближаются, и при некоторой скорости $U$ совпадают. Скорость $U$ является минимально возможно скоростью Лены, бегая с которой она гарантировано попадет на автобус. Действительно, если скорость Лены меньше $U$, то точка D2 будет левее D1 и между ними будет отрезок, из которого Лена не успеет ни на одну из остановок.
Итак, рассмотрим точку D = D1 = D2. Понятно, что если бежать (со скоростью $U$) из нее на остановку B или А, то на любой из этих остановок Лена окажется одновременно с автобусом. Введем величину $X$, как расстояние BD. Тогда из условий, что время движения Лены по отрезку DB равно времени движения автобуса по отрезку CB, и то что время движения Лены по отрезку DA равно времени движения автобуса по отрезку CA можно записать:
$\frac{X}{U} = \frac{L - l}{v_{A} }$
$\frac{l - X}{U} = \frac{L}{v_{A} }$. (1)
Приведенная система уравнений решает задачу. Можно сложить левые и правые части уравнений и получить, что
$\frac{l}{U} = \frac{2L - l}{v_{A} }$, (2)
откуда следует ответ.
Ответ: Минимальная скорость Лены $U = \frac{lv_{A}}{2L - l} = 12 км/ч$