2019-01-14
Пираты раздобыли несколько блоков и отрезков веревки. Типичный блок изображен на рисунке сверху и состоит из диска, вокруг которого проходит веревка и крепления этого диска. Диск может свободно поворачиваться в креплении. К креплению может быть подсоединена вторая веревка. С помощью системы таких блоков три пирата тащат тяжелый сундук $S$ (см. рис, вид сверху). Блоки находятся в горизонтальной плоскости. Пираты держат каждый свою веревку и идут со скоростями $V_{1} = 1 км/ч, V_{2} = 3 км/ч, V_{3} = 4 км/ч$ (см. рис.). Найдите скорость сундука. Все веревки натянуты и нерастяжимы.
Решение:
Пусть за определенное время $t$ пираты прошли путь $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$. Полное перемещение сундука $y$ складывается из суммы перемещений, связанных с перемещением каждого из пиратов $y = y_{1} + y_{2} + y_{3}$.
Сформулируем важное правило: если с одной стороны от блока веревка подтянута влево на величину $L_{1}$, а с другой стороны на величину $L_{2}$, то блок сдвинется влево на величину $(L_{1} + L_{2})/2$. Предлагаем доказать его самостоятельно с помощью простых геометрических соображений, и, учитывая, что веревка нерастяжима, т.е. длина ее постоянна.
Начнем с вычисления $y_{1}$: 1-ый пират переместился, а остальные стоят на своих местах. Блок B, очевидно неподвижен; предположим сперва также, что неподвижен блок C. В этом случае неподвижна веревка между блоками A и B (т.е. $L_{2}$ в нашем правиле равно нулю). Если блок A сместился на величину $z$, то, согласно правилу $z = x_{1}/2$, а также $y_{1} = z/2$ и можно записать:
$y_{1} = z/2; z = x_{1}/2 ; y_{1} = x_{1}/4$. (1)
Вернемся к блоку C - пусть он сдвинулся влево на величину $\Delta$ (может быть отрицательную). Тогда из сохранения длины веревки, проходящей через блоки A-B-C (напомним, что блок B неподвижен) следует, что блок A сдвинется на величину $\Delta$ вправо. В соответствии с правилом положение блока D при этом не изменится. Таким образом, предположение о неподвижности блока C не влияет на ответ.
Случай 3-го пирата полностью аналогичен 1-му пирату и мы можем сразу записать:
$y_{3} = x_{3}/4$. (2)
В случае перемещения второго пирата на $x_{2}$, блоки A и C сдвинуться на величину $x_{2}/2 + \Delta/2$ и $x_{2}/2 - \Delta/2$, значит, в соответствии с правилом, блок D сдвинется на $x_{2}/2$.
$y_{2} = x_{2}/2$. (3)
Складывая полученные результаты можно получить:
$y = x_{1}/4 + x_{2}/2 + x_{3}/4$, (4)
и, если поделить обе части полученного выражения на время, то можно получить ответ.
Ответ: Скорость сундука $U = V_{1}/4 + V_{2}/2 + V_{3}/4 = 2,75 км/ч$