2019-01-14
В ведре с водой плавает модель подводной лодки, имеющая форму цилиндра с сечением $S_{1} = 10 см^{2}$. Модель привязана ко дну ведра и полностью погружена в воду. Юный техник Василий с помощью пульта дистанционного управления подает команду, и длина подводной лодки начинает увеличиваться со скоростью $u = 6 см/мин$, а ее сечение при этом остается постоянным. С какой скоростью начнет подниматься уровень воды в ведре, если оно имеет форму цилиндра с сечением $S = 300 см^{2}$?
Решение:
Рассмотрим объем $V$, который находится под поверхностью воды - он складывается из двух составляющих: объема воды и объема подводной лодки $V_{S}$. Объем воды в процессе управления лодкой не меняется, значит изменение объема $V$ равно изменению объема лодки:
$\Delta V = \Delta V_{S}$. (1)
Рассмотрим увеличение объема $V$ за время $\delta t$ - оно связано с поднятием уровня воды на $\delta h$. С геометрической точки зрения увеличение $V$ происходит за счет присоединения к нему цилиндрического объема $\Delta V$. Учитывая связь между объемом цилиндра, площадью его основания и высотой можно записать:
$\Delta V = S \delta h = Sv \delta t$, (2)
где $v$ есть скорость поднятия уровня воды в ведре. Проводя аналогичные рассуждения с подводной лодной легко заметить, что:
$\Delta V_{S} = S_{1} u \delta t$. (3)
С учетом выражения (1) теперь легко получить, что
$S_{1}u = Sv$, (4)
откуда легко следует ответ.
Ответ: $v = uS_{1}/S = 2 мм/мин$