2019-01-10
Ковбой сидел на сиденье неподвижной карусели в точке А (см. рис. вид сверху). Внезапно он выстрелил из револьвера строго горизонтально, и через время $t$ пуля попала в самый центр мишени М. В результате отдачи от выстрела карусель пришла во вращение. Когда ковбой сделал полный оборот и снова оказался в точке А, он снова выстрелил строго в том же направлении. На каком расстоянии от центра мишени попадёт вторая пуля? Считайте, что у карусели массивным является только обод, масса пули составляет долю а от массы карусели вместе с ковбоем ($\alpha \ll 1$). Трением пренебречь.
Решение:
При выстреле ковбой вместе с каруселью приобретают скорость $u$ и импульс $Mu$ (мы обозначили через $M$ суммарную массу ковбоя и обода карусели). Пуля при этом приобретает противоположный импульс, равный $mV$ ($V$ - горизонтальная скорость пули). По условию $m = \alpha M$.
Понятно, что импульсы $Mu$ и $mV$ связаны между собой и равны по модулю: по третьему закону Ньютона сила, с которой пуля в каждый момент толкает назад револьвер, равна силе, с которой револьвер толкает пулю; поэтому импульсы, которые приобретает под действием этих равных сил пуля и револьвер с ковбоем и каруселью в пренебрежении трением одинаковы. Итак,
$Mu = mV \Rightarrow u = \frac{mV}{M} = \alpha V$.
Так как пуля движется с начальной скоростью $V$, которая направлена горизонтально, за время $t$ она пролетит по горизонтали путь $L = Vt$, а по вертикали опустится на $gt^{2}/2$. По условию именно там находится мишень.
Во время второго выстрела карусель приобретет дополнительный импульс. Вылет пули будет осуществляться по тем же законам, но поскольку в начальный момент карусель двигалась с горизонтальной скоростью и, законы эти имеют такую же форму, если мы перейдём в систему отсчёта, где карусель не вращается. В неподвижной же системе отсчёта вторая пуля полетит после выстрела с горизонтальной скоростью $V - u$. По горизонтали она доберется до мишени за время
$t^{ \prime} = \frac{L}{V - u} = \frac{Vt}{V - u} = \frac{t}{1 - \alpha}$,
здесь мы учли связь $u = \alpha V$.
Понятно, что $t^{ \prime} > t$, то есть вторая пуля летит медленнее и дольше. Значит, и опустится за время полёта она сильнее, чем в первом случае - на расстояние $gt^{ \prime 2}/2$. По сравнению со сдвигом вниз первой пули, это больше на
$\Delta x = \frac{gt^{ \prime 2}}{2} - \frac{gt^{2} }{2} = \frac{g}{2} \left ( \frac{t^{2}}{(1 - \alpha)^{2}} - t^{2} \right ) = \frac{gt^{2}}{2} \left ( \frac{1 - (1 - \alpha)^{2}}{(1 - \alpha)^{2} } \right ) = \frac{gt^{2} \alpha }{2} \left ( \frac{2 - \alpha}{(1 - \alpha)^{2} } \right )$.
Так как величина $\alpha$ мала по условию, в числителе можно отбросить $\alpha$ по сравнению с двойкой, а в знаменателе - $\alpha$ по сравнению с единицей.
Ответ: пуля пройдёт ниже центра мишени на $\Delta x = gt^{2} \alpha$.