2015-02-14
Вычислить сумму
$\frac{1}{1 \times 5} + \frac{1}{5 \times 9} + \frac{1}{9 \times 13} + \cdots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$
Решение:
Обозначим требуемую сумму через S. Представим каждое из слагаемых заданной суммы посредством разности двух дробей, т.е.
$\frac{1}{1 \times 5} = \frac{1}{4} \left ( 1- \frac{1}{5}
\right ),
\frac{1}{5 \times 9} = \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{5} - \frac{1}{9}
\right ),
\frac{1}{9 \times 13} = \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{9} - \frac{1}{13}
\right ), \cdots
, \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}= \frac{1}{4} \left ( \frac{1}{4n-3}- \frac{1}{4n+1}
\right )$
в таком случае
$S= \frac{1}{4} \left ( 1- \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9}+ \frac{1}{9}- \frac{1}{13}+ \cdots + \frac{1}{4n-3}- \frac{1}{4n+1}
\right )= \frac{1}{4} \left( 1- \frac{1}{4n+1}
\right )= \frac{n}{4n+1} $