2014-05-31
Два шарика с одинаковой массой m соединены невесомой пружиной, жесткость которой k. Эта система, двигаясь со скоростью $v_{0}$, как показано на рис., сталкивается с точно такой же покоящейся системой. Происходит абсолютно упругий центральный удар шариков. Опишите дальнейшее движение систем, считая, что время
соударения шариков много меньше периода собственных колебании систем, а длина недеформированной пружины l много больше величины $v_{0} \sqrt{m/k}$
Решение:
Рассмотрим движение шариков в системе отсчета связанной с центром масс. В этой системе отсчета обе пары шариком летят навстречу друг другу с одинаковыми скоростями $v_{0}$. Из-за симметрии конфигурации достаточно рассмотреть только одну пару шариков (для определенности левую). После первого столкновения правый шарик изменит направление скорости на противоположное, и шарики в паре будут сближаться друг с другом с начальными скоростями $v_{0}$. По мере сближения их кинетическая энергия будет переходить в потенциальную энергию сжатой пружины.
Начальная кинетическая энергия пары шариков $E_{0}=mv_{0}^{2}$, а потенциальная энергия сжатой пружины $U=k (\Delta)^{2}/2$, где $\delta l$ - значение длины пружины. Максимальное значение $\delta l$ будет достигнуто, когда вся начальная кинетическая энергия перейдет в потенциальную: $U_{max} = E_{0}$. Отсюда максимальное изменение длины пружины равно
$\Delta l _{max} = v_{0} \sqrt{m/k}$.
По условию задачи эта величина много меньше начальной длины пружины, так что столкновение шариков в одной паре не произойдет.
После наибольшего сближения шарики начнут разлетаться под действием силы упругой деформации, потенциальная энергия пружины будет переходить в кинетическую энергию шариков. Шарики вернутся в исходное положение со скоростями, равными начальным по величине, но направленными в противоположные стороны. Произойдет повторное столкновение правого шарика, после которого его
скорость опять изменится на противоположную. Скорости шариков в паре окажутся одинаковыми не только по величине, но и по направлению. Пары будут разлетаться в противоположные стороны с одинаковым и скоростями $v_{0}$.
В исходной системе отсчета после двух столкновений левая пара шариков будет покоиться, а правая - двигаться вправо со скоростью $v_{0}$.