2014-05-31
Вертикальный абсолютно жесткий невесомый стержень длиной l прикреплен в нижней точке с помощью шарнира. К верхнему концу стержня прикреплена точечная масса m. Система удерживается в положении устойчивого равновесия с помощью двух одинаковых невесомых горизонтальных пружин, имеющих жесткость k (рис.). Найдите период малых колебаний, возникающих в системе при выведении ее из положения равновесия.
Решение:
Выведем систему из положения равновесия, повернув стержень на угол $\alpha$. Точечная масса m при этом смешается в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно на
$x=l \sin \alpha$, (1)
$y=l(1- \cos \alpha)$. (2)
Так как но условию задачи угол $\alpha$ мал, то $ \sin \alpha \approx \alpha$ и $\cos \alpha \approx l$. C учетом этого формулы (1) и (2) принимают вид
$x \approx l \alpha$, (3)
$y \approx 0$. (4)
Таким образом, при малых колебаниях смещением точечной массы в вертикальном направлении можно пренебречь. Следовательно, можно с достаточно хорошей степенью точности считать, что при малых $\alpha$ силы $\bar{F_{1}}$ и $\bar{F_{2}}$, приложенные к точечной массе m со стороны сжатой и растянутой пружин, направлены по горизонтали в одну и ту же сторону. Для величины их равнодействующей $F_{упр}$ можно написать:
$ F_{упр} = F_{1} + F_{2} = 2kx$. (5)
Кроме F на массу m действуют сила тяжести $m \bar{g}$ и сила реакции стержня $\bar{N}$ (рис. б). При малых $\alpha$ в вертикальном направлении тело не смешается, следовательно, проекция на вертикальное направление результирующей $\bar{F}$ всех приложенных к массе сил равны нулю. Отсюда
$N \cos \alpha \approx N = mg$. (6)
Проекция результирующей на горизонтальное направление
$F_{2}(x) = N \sin \alpha - F_{упр} \approx N \alpha – 2kx$. (7)
С помощью уравнений (3) и (6) равенство (7) легко преобразуется к виду
$F_{x}(x)=-k_{1}x$, (8)
где
$k_{1}=2k-mg/l$. (9)
Если $2k>mg/l$, то сила $F_{x}(x)$ направлена к положению равновесия и является гармонической силой. В результате ее действия возникают малые гармонические колебания с периодом
$T=2 \pi \sqrt{m/k_{1}}=2 \pi \sqrt{ml/(2kl-mg)}$.
Если же $2k \leq mg/l$, то положение равновесия, отвечающее значению 0, неустойчиво, поскольку в этом случае сила $F_{x}(x)$ либо равна нулю, либо направлена от положения равновесия. В таком случае сила $F_{x}(x)$ не является гармонической, и колебания в системе не возникают.