2014-05-30
Кубик вылетает из точки А, ударяется о стенку одной из своих граней и попадает в точку В (рис.). Лобовой удар кубика о стенку абсолютно упругий. Коэффициент трения скольжения между кубиком и стенкой $\mu < 1$. Расстояние между точками А и В равно а. Расстояние от точек А и В до стенки равно b. Найдите угол $\alpha$
и между направлением начальной скорости и нормалью к стенке; сила тяжести отсутствует.
Решение:
Кубик ударяется о стенку под углом $\alpha$, а отскакивает от нее под углом $\beta$ так, что
$tg \: \beta_{max} {tg \: \alpha – 2 \mu,0}$ (1)
Это нетрудно получить, если учесть, что при ударе о стенку составляющая импульса $p \perp$, перпендикулярная стенке, меняет направление па противоположное. За малое время $\delta t$ изменение составляет
$\delta p \perp = F \perp \delta t$,
и за все время удара $\delta t$:
$\delta p \perp = 2p \perp = F \perp \delta t$.
Под действием силы трения $F_{T}=\mu F \perp$ составляющая импульса $p \parallel$,
параллельная стенке, изменяется за время $\delta t$ на
$\delta p \parallel = \mu F \perp \delta t = \mu \delta p \perp$ (2)
Равенство (2) справедливо до тех пор, пока $p \parallel$ не обратится в ноль. Следовательно, полное изменение импульса $p \parallel$ за время удара
$\delta p \parallel = min {2 \mu p \perp, p \parallel} $
Учитывая, что
$tg \: \alpha = \frac{p \parallel}{p \perp}$ и $tg \: \beta=\frac{p \parallel - \delta p \parallel}{p \perp}$
получаем результат (1), откуда после несложных геометрических преобразований следует, что
$tg \: \alpha = min \left ( \mu + \frac{a}{2b},\frac{a}{b}\right )$
Кубик в процессе удара скользит вдоль стенки без переворота. Необходимое для этого требование ($\mu <1$) выполняется по условию задачи.