2014-05-30
На наклонной плоскости с углом $\alpha$ при основании находится груз, привязанный к одному из концов невесомой нерастяжимой нити. Другой конец нити прикреплен к некоторой точке наклонной плоскости. В начальном положении грузик смещают по плоскости относительно его наинизшего положения на плоскости так, что натянутая нить составляет угол $\beta$ с тем направлением, которое оно занимает при наинизшем положении грузика (рис.). Известно, что грузик остается в покое при $\beta \leq \beta_{0}$ и начинает скользить по плоскости при $\beta > \beta_{0}$. Определите коэффициент трения между поверхностью грузика и плоскостью.
Решение:
В предельном случае $\beta = \beta_{0}$ на грузик действуют следующие силы: тяжести $m \bar{g}$, трения $\bar{F_{T}}$, реакции опоры $\bar{N}$ и натяжения нити $\bar{Т}$. Предположим, что грузик находится ниже точки крепления нити, т. е. $\beta_{0} < \pi /2$. Сила трения покоя принимает свое предельное значение, равное силе трения скольжения:
$F_{T}= \mu mg cos \alpha$ (1)
Определим направление силы трения покоя. Для этого мысленно "выключим" трение и посмотрим, в какую сторону начнет двигаться грузик. Очевидно, что грузик может двигаться только по окружности, радиусом которой служит нить, т. е. в направлении, перпендикулярном нити. Сила трения покоя направлена в сторону, противоположную этому воображаемому движению. Исходя из этих рассуждений, запишем уравнение движения грузика но наклонной плоскости в проекциях на направление нити и перпендикулярное ей направление:
$T=mg sin \alpha cos \beta_{0}$,
$F_{T}=mg sin \alpha sin \beta_{0}$. (2)
Сравнивая правые части равенств (1) и (2), получаем
$\mu=tg \alpha sin \beta_{0}$
Если же $\beta_{0} > \pi/2$, то грузик находится выше точки крепления нити. Он может начать движение не по окружности, а вниз по наклонной плоскости. При этом сила натяжения отсутствует, сила трения покоя направлена вверх по наклонной плоскости. В этом случае грузик будет сохранять состояние покоя независимо от направления нити и про коэффициент трения можно сказать только то, что $\mu \geq tg \alpha$, так как по условию задачи грузик скользит вдоль наклонной плоскости.