2014-06-07
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами $AC=2000$ и $BC= \frac{1}{1000}$. Его площадь равна 1. Предположим, что треугольник ABC можно разрезать на 1000
частей, из которых можно сложить квадрат. Тогда площадь этого квадрата тоже равна 1, значит, и сторона этого квадрата равна 1.
Разобьем катет AC на 1000 равных отрезков точками $A=A_{0}, A_{1}, \cdots , A_{999}, A_{1000} =C$. Поскольку частей 1000, а точек 1001, по принципу Дирихле какие-то две попадут в одну часть. Так как эта часть содержится в квадрате со стороной 1, то расстояние между любыми двумя ее точками не превосходит $\sqrt{2}$. С другой стороны, расстояние между любыми двумя из точек $A_{0}, \cdots, A_{1000}$ не меньше двух. Полученное противоречие доказывает, что треугольник ABC нельзя разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат.