2015-02-14
Маленький шарик, брошенный с начальной скоростью $v_{0}$ под углом а к горизонту, ударился о вертикальную стенку, движущуюся ему навстречу с горизонтально направленной скоростью v(t) и отскочил в точку, из которой был брошен. Определите, через какое время t после броска произошло
столкновение шарика со стенкой? Потерями на трение пренебречь.
Решение:
Так как стенка гладкая, то удар о стенку не изменяет вертикальную составляющую скорости шарика. Поэтому полное время движения шарика $t_{1}$ представляет собой полное время подъема и спуска на первоначальную высоту в поле силы тяжести тела, брошенного вверх со скоростью $v_{0} \sin ( \alpha )$. Следовательно, $t_{1} = 2v_{0} \sin \left ( \frac{ \alpha}{g} \right )$. Движение шарика по горизонтали складывается из двух участков пути: до соударения со стенкой он двигался со скоростью $v_{0} \cos ( \alpha )$; после соударения шарик пролетел назад такой же путь, но с другой скоростью. Чтобы рассчитать скорость обратного движения шарика, заметим, что скорость сближения шарика и стенки (по горизонтали) была равна $v_{0} \cos ( \alpha )+v$. Поскольку удар абсолютно упругий, то после удара шарик будет удаляться от стенки со скоростью $v_{0} \cos ( \alpha ) + v$ поэтому относительно земли он будет иметь горизонтальную скорость
$(v_{0} \cos ( \alpha ) + v) + v = v_{0} \cos ( \alpha ) + 2v$
Если до удара о стенку шарик летел время $t$, то, приравнивая пути, пройденные им до и после соударения, получим уравнение
$v_{0} \cos ( \alpha ) t = (t_{1}-t)(v_{0} \cos ( \alpha )+2v)$
Отсюда, учитывая, что полное время движения шарика равно $t_{1}= \frac{ 2v_{0} \sin \alpha}{g}$, получим
$t= \frac{ v_{0} \sin \alpha( v_{0} \cos ( \alpha )+2v)}{g(v_{0} \cos ( \alpha )+v)}$