вектор
нулевой вектор
центрированная совокупность векторов
радиус-вектор, подвижный радиус
Вектором называется направленный отрезок в плоскости (в пространстве).
При изучении тригонометрических функций мы будем рассматривать векторы в плоскости. С каждым вектором связывают понятия направления и длины (абсолютной величины, модуля).
Для вектора (рис.) применяются следующие обозначения: $\bar{AB} \equiv \vec{AB} \equiv \vec{a}$, где $a$ - начало вектора, а $B$ - его конец. Длина отрезка $AB$ называется длиной вектора $\bar{AB}$ (его абсолютной величиной, модулем) и обозначается так: $| \bar{AB} |, | \vec{a}|$ или $| \vec {AB} |$.
Для общности рассматривается и случай нулевого отрезка $\vec{AA}$, начало которого совпадает с его концом. Такой отрезок называется нулевым вектором и обозначается через 0.
Нулевой вектор имеет длину, равную нулю; ему не приписывается никакого направления.
Следует заметить, что всегда $| \bar{AB} | \geq 0$, причем $| \bar{AB} | = 0$ тогда и только тогда, когда $\bar{AB}$ - нулевой вектор.
Для векторов не имеют смысла понятия «больше» или «меньше». Можно только говорить, что длина вектора $\bar{AB}$ больше длины вектора $\bar{CD}$, и писать: $| \bar{AB} | > | \bar{CD} |$.
Два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются равными, если они:
1) параллельны одной и той же прямой,
2) одинаково направлены,
3) имеют равные длины, т. е. $| \vec{a} | = | \vec{b}|$.
Совокупность векторов с указанным выше определением равенства обычно называют системой свободных векторов. Термин «свободный вектор» связан с тем, что теперь один и тот же вектор может быть изображен направленным отрезком с началом в любой точке: его можно свободно переносить из точки в точку.
Каждому вектору $\bar{AB}$ можно поставить в соответствие лежащий на заданной оси $OL$ вектор $\bar{A_{1}В_{1}}$, где точки $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно - проекции на ось $OL$ точек $A$ и $B$ (рис.). Проекцией вектора $\bar{AB}$ на ось $OL$ называется длина вектора $\bar{A_{1}B_{1}}$, взятая со знаком плюс, если направление вектора $\bar{A_{1}B_{1}}$ совпадает с положительным направлением оси, и со знаком минус в противном случае. Итак, проекция вектора $\bar{AB}$ на ось есть по определению число (не вектор!). Условимся проекцию вектора $\bar{AB}$ на ось $OL$ обозначать так: $\:пр_{OL} \bar {AB}$. Возможны следующие случаи: а) $\:пр_{OL} \bar {AB} = + | \bar {A_{1}B_{1}} | > 0$ (рис.), б) $\:пр_{OL} \bar {AB} = - \bar {A_{1}B_{1}} < 0$ (рис.), в) $\:пр_{OL} \bar {AB} = 0$ (рис.).
Рассмотрим теперь совокупность векторов, исходящих из одной точки (начала). Такая совокупность векторов называется центрированной.
Примем эту общую точку за начало $O$ декартовой прямоугольной системы координат $Oxу$.
Определение. Вектор $\bar {OM}$, имеющий своим началом точку $О$ (начало координат) и своим концом произвольную точку $M$ плоскости, называется радиусом-вектором точки $M$ или подвижным радиусом (рис.)
. Радиус-вектор обозначается и так: $\vec{r}(M)$, т. е. $\bar{OM} = \vec{r}(M)$. Через $x$ и $y$ обозначим соответственно абсциссу и ординату точки $M$, а через $r$ - длину (модуль) вектора $\bar {OM}$. Следовательно, $r = \bar {|OM|} = | \vec{r}(M)|$. Заметим, что координаты $x$ и $y$ точки $M$ являются вместе с тем проекциями ее радиуса-вектора $\vec{r}(M)$ на оси координат.