Рассмотрим некоторые свойства арифметической прогрессии.
1. Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение представляет первый член, а у конечной прогрессии также последний член, так как они имеют только по одному соседнему члену).
Доказательство. Для члена $a_{k}$ члены $a_{k-1}$ и $a_{k+1}$ будут соседними. По определению прогрессии мы можем написать
$a_{k} = a_{k-1} + d, a_{k+1} = a_{k} + d$,
откуда
$a_{k} = a_{k-1} + d, a_{k} = a_{k+1} - d$.
Взяв полусумму полученных равенств, найдем
$a_{k} = \frac {a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$,
а это и надо было доказать.
2. У конечной арифметической прогрессии
$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n-2}, a_{n-1}, a_{n}$
суммы членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов.
Доказательство. Выпишем несколько пар членов, равноотстоящих от концов прогрессии:
$\begin{matrix} a_{1}, a_{n} \\ a_{2}, a_{n-1} \\ a_3, a_{n-2} \\ \cdots \end{matrix}$.
Замечаем, что у каждой такой пары членов сумма их номероз на единицу больше числа членов прогрессии. Таким образом, если на $k$-м месте от начала прогрессии находится член $a_k$, то на $k$-м месте от ее конца находится член $a_{n-k+1}$. Найдем сумму этих членов, воспользовавшись формулой (1) из раздела "Арифметическая прогрессия. Формула общего члена":
$a_{k} + a_{n-k+1} = [a_{1} + (k-1)d] + [a_{1} + (n-k) d] = a_{1} + [a_{1} + (n-1) d]$.
Ho $a_{1} + (n-1) d = a_{n}$, и поэтому
$a_{k} + a_{n-k+1} = a_{1} + a_{n}$,
что и требовалось доказать.