Свойство
$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$,
установлено при $n > m$. При $m = m$ или $n < m$ его правая часть не определена, но левая часть сохраняет смысл. Это дает повод ввести определение степени с нулевым и целыми отрицательными показателями степени.
Нулевую степень числа $a \neq 0$ полагают по определению равной единице:
$a^{0} = 1$.(1)
Таким образом, равенство $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$ становится теперь верным и при $n = m$.
Степень числа $a \neq 0$ с отрицательным показателем — $k$ определяется равенством
$a^{-k} = \frac{1}{a^{k}}$(2)
Нулевая и отрицательная степени числа 0 не определяются.
Определение (2) делает равенство $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$ верным и при $n < m$. Так, если $m = n+k$, то имеем
$\frac{a^{n}}{a^{m}} = \frac{a^{n}}{a^{n+k}} = \frac{a^{n}}{a^{n}a^{k}} = \frac{1}{a^{k}} = a^{-k} = a^{n-m}$
Нетрудно проверить, что все правила действия возведения в натуральную степень, указанные в предыдущим параграфе, сохраняют силу при введенных определениях и при любых целых показателях степени.
Так, например, проверяем, что
$a^{-m}a^{-n} = \frac{1}{a^{m}} \frac{1}{a^{n}} = \frac{1}{a^{m+n}} = a^{-m-n}$,
т. е. и для отрицательных показателей степени сохраняет силу правило 1) умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Пример. Вычислить:$\frac{2^{-3} \cdot 3^{5} \cdot 6^{4}}{2 \cdot 3^{9} \cdot 6^{-2}}$
Решение. Используем то, что $6 = 2 \cdot 3$, и применяем правила действий с целыми степенями:
$\frac{2^{-3} \cdot 3^{5} \cdot 6^{4}}{2 \cdot 3^{9} \cdot 6^{-2}} = \frac{2^{-3} \cdot 3^{5} \cdot 2^{1} \cdot 3^{4}}{2 \cdot 3^{9} \cdot 2^{-2} \cdot 3^{-2}} = \frac{2 \cdot 3^{9}}{2^{-1} \cdot 3^{7}} = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36$.