При поступательном движении все точки тела движутся одинаково. Поэтому такое движение можно рассматривать как движение одной точки тела - его центра масс. При этом мы должны считать, что в центре масс сосредоточена вся масса тела и к нему приложена равнодействующая всех сил, действующих на тело. Из второго закона Ньютона следует, что ускорение этой точки равно нулю, если геометрическая сумма всех приложенных к ней сил - равнодействующая этих сил - равна нулю. Это и есть условие равновесия тела при отсутствии вращения.
Для того чтобы тело при отсутствии вращения находилось в равновесии, необходимо, чтобы равнодействующая сил, приложенных к телу, была равна нулю.
Но если геометрическая сумма сил равна нулю, то и сумма проекций векторов этих сил на любую ось тоже равна нулю. Поэтому условие равновесия тела можно сформулировать и так:
Для того чтобы тело при отсутствии вращения находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма проекций приложенных к телу сил на любую ось была равна нулю.
рис. 1
В равновесии, например, находится тело, к которому, как на рисунке 1, приложены две равные силы, действующие вдоль одной прямой, но направленные в противоположные стороны.
Состояние равновесия - это не обязательно состояние покоя. Согласно второму закону Ньютона при равенстве нулю равнодействующей всех сил, приложенных к телу, оно может двигаться прямолинейно и равномерно. При таком движении тело тоже находится в состоянии равновесия. Например, парашютист, после того как он начал падать с постоянной скоростью, находится в состоянии равновесия.
рис. 2
На рисунке 1 силы приложены к телу не в одной точке. Но мы уже видели, что важна не точка приложения силы, а прямая, вдоль которой она действует. Перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия ничего не изменяет ни в движении тела, ни в состоянии равновесия. Ясно, например, что ничего не изменится, если, вместо того чтобы тянуть вагонетку, как это показано на рисунке 2, а, еестанут толкать (рис. 2,6).
Если равнодействующая сил, приложенных к телу, не равна нулю, то, для того чтобы тело находилось в состоянии равновесия, к нему должна быть приложена добавочная сила, равная по модулю равнодействующей, но противоположная ей по направлению.
рис. 3
Поясним это на опыте. Прикрепим к двум точкам верхней перекладины рамы динамометры 1 и 2 (рис. 3). При помощи нитей в точке $O$ прикрепим груз. Под действием трех сил $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3} = m \vec{g}$ точка $O$ будет находиться в равновесия. Теперь заменим силы, действующие на точку $O$ со стороны двух динамометров, одной силой. Для этого прикрепим к точке $O$ еще один динамометр 3 и потянем его вверх. Когда стрелки динамометров 1 и 2 установятся на нуле шкалы, на точку $O$ будут действовать только две силы. Одна из них - сила упругости пружины динамометра 3, измеряемая этим динамометром, - является равнодействующей сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$. Сила тяжести груза $\vec{F}_{3} = m \vec{g}$ равна этой равнодействующей по абсолютной величине и направлена в противоположную сторону. Поэтому точка $O$ находится в равновесии.
рис. 4
Рассмотрим еще один пример. Как удержать в равновесии лодку, на которую действуют течение реки и ветер, дующий от берега (рис. 4)? Найдем равнодействующую $\vec{F}$ сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$, вызванных ветром и течением воды. Для этого воспользуемся правилом параллелограмма. Диагональ параллелограмма дает величину и направление равнодействующей $\vec{F}$. Для того чтобы лодка была в равновесии, к ней должна быть приложена уравновешивающая сила $\vec{F}_{y}$, равная этой равнодействующей, но направленная в противоположную сторону. Такой силой, например, может быть сила натяжения каната, прикрепленного одним концом к носу лодки, а другим к берегу. Если, например, сила, с которой текущая вода действует на лодку, равна 150 н, а сила давления ветра равна 100 н, то равнодействующая этих двух взаимно перпендикулярных сил может быть вычислена по теореме Пифагора:
$| \vec{F} | = \sqrt{ F_{1}^{2} + F_{2}^{2} }$,
$| \vec{F} | = \sqrt{(100 Н)^{2} + (150 Н)^{2}} \approx 180 Н$.
Лодка, следовательно, может быть удержана канатом, способным выдержать натяжение не менее 180 Н.
Задача. Груз массой 100 кг подвешен к кронштейну (рис. 159, а), который состоит из поперечной балки $AB$ и укосины $BC$. Определите силы упругости, возникающие в балке и укосине, если $AB = 48 см, AC = 64 см$.
Решение. Прежде всего выясним, каково происхождение сил, действующих на части кронштейна.
рис. 5
Под действием силы тяжести груз начинает падать вертикально вниз. При этом он увлекает за собой конец $B$ балки. Ясно, что балка и укосина вследствие этого деформируются: балка удлиняется, а укосина сжимается (рис. 5, а). В деформированных частях кронштейна возникают силы упругости, направленные в сторону, противоположную деформации. Эти силы и нужно определить. На рисунке 5 вектор $\vec{F}_{1}$ изображает силу упругости в сжатой укосине, а вектор $\vec{F}_{2}$ - силу упругости в растянутой балке. Эти силы действуют на точку $B$, к которой подвешен груз.
Деформации балки и укосины будут увеличиваться до тех пор, пока равнодействующая сил $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$ не уравновесит силу тяжести $\vec{F}_{3} = m \vec{g}$. Тогда точка $B$ будет находиться в равновесии. Следовательно, равнодействующая трех сил, приложенных к точке $B$: силы тяжести $\vec{F}_{3} = m \vec{g}$, силы $\vec{F}_{2}$ и силы $\vec{F}_{1}$ равна нулю:
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$.
Равна нулю и сумма проекций этих сил на любую ось.
Направим ось $X$ по горизонтали вправо (рис. 5, б), а ось $Y$ по вертикали вверх. Сила $\vec{F}_{3}$ направлена по вертикали, поэтому ее проекция на ось $X$ равна нулю. Проекция силы $\vec{F}_{2}$ на ось $X$ равна модулю вектора $\vec{F}_{2}$, взятому со знаком «-». Проекция силы $F_{1}$ на ось $X$ равна $| \vec{F}_{1} | \cos \alpha$. Тогда можно записать:
$| \vec{F}_{1} | \cos \alpha - | \vec{F}_{2} | = 0$,
или
$| \vec{F}_{1} | \cos \alpha = | \vec{F}_{2} |$. (1)
Проекции всех сил на ось $Y$ найдем таким же образом. Проекция силы $\vec{F}_{2}$ равна нулю, проекция силы $\vec{F}_{3}$ равна $-mg$, а проекция силы $\vec{F}_{1}$ равна $| \vec{F}_{1} | \sin \alpha$. Поэтому
$| \vec{F}_{1} | \sin \alpha - mg = 0$,
или
$| \vec{F}_{1} | \sin \alpha = mg$. (2)
Из уравнений (1) и (2) нетрудно найти силы $\vec{F}_{1}$ и $\vec{F}_{2}$.
Значение $| \vec{F}_{1}|$ найдем непосредственно из уравнения (2):
$| \vec{F}_{1} | = \frac{mg}{ \sin \alpha }$. (3)
Подставив это значение $| \vec{F}_{1} |$ в уравнение (1), получим:
$| \vec{F}_{3} | = \frac{mg}{ \sin \alpha \cos \alpha}$. (4)
Из треугольника $ABC$ видно, что
$\sin \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{AC}{ \sqrt{AB^{2} + AC^{2} } }$,
$\cos \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{AB}{ \sqrt{AB^{2} + AC^{2} } }$
(согласно теореме Пифагора $BC = \sqrt{ AB^{2} + AC^{2}}$).
Перепишем формулы (3) и (4) с учетом этих соотношений:
$| \vec{F}_{1} | = mg \frac{BC}{AC} = mg \frac{ \sqrt{AB^{2} + AC^{2} } }{AC}$,
$| \vec{F}_{2} | = mg \frac{AB}{BC} \cdot \frac{BC}{AC} = mg \frac{ AB}{AC}$.
Подставив значения $m, AB$ и $AC$ из условия задачи, найдем:
$| \vec{F}_{2} | \approx 100 кг \cdot 10 \frac{м}{сек^{2} } \cdot \frac{48 см}{64 см} = 750 Н$,
$| \vec{F}_{1} | \approx 100 кг \cdot 10 \frac{м}{сек^{2} } \cdot \frac{ \sqrt{48^{2} + 64^{2} } см }{64 см} = 1250 Н$.