Полезно ознакомиться в отдельности с работой каждой из механических сил, с которыми мы ознакомились в пятой главе: силы тяжести, силы упругости и силы трения. Начнем с силы тяжести. Сила тяжести равна $\vec{F} = m \vec{g}$ и направлена по вертикали вниз. Вблизи поверхности Земли ее можно считать постоянной.
рис. 1
При движении тела по вертикали вниз сила тяжести совпадает по направлению с перемещением. При переходе с высоты $h_{1}$ над каким-то уровнем, от которого мы начинаем отсчет высоты, до высоты $h_{2}$ над тем же уровнем (рис. 1), тело совершает перемещение, по абсолютной величине равное $h_{1} - h_{2}$. Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна:
$A = mg (h_{1} - h_{2})$.
Высоты $h_{1}$ и $h_{2}$ не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Для начала отсчета высот можно выбрать любой уровень. Это может быть пол комнаты, стол или стул, это может быть и дно ямы, вырытой в земле, и т. д. Ведь в формулу для работы входит разность высот, а она не зависит от того, откуда начинать их отсчет. Мы могли бы, например, условиться начинать отсчет высоты с уровня $B$ (см. рис. 1). Тогда высота этого уровня была бы равна нулю, а работа выражалась бы равенством
$A = mgh$,
где $h$ - высота точки $A$ над уровнем $B$.
Если тело движется вертикально вверх, то сила тяжести направлена против движения тела и ее работа отрицательна. При подъеме тела на высоту $h$ над тем уровнем, с которого оно брошено, сила тяжести совершает работу, равную
$A = - mgh$.
Если после подъема вверх тело возвращается в исходную течку, то работа на таком пути, начинающемся и кончающемся в одной и той же точке (на замкнутом пути), на пути «туда и обратно», равна нулю. Это одна из особенностей силы тяжести: работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.
Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести в случае, когда тело движется не по вертикали.
рис. 2
В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости (рис. 2). Допустим, что тело массой $m$ по наклонной плоскости высотой $h$ совершает перемещение $\vec{s}$, по абсолютной величине равное длине наклонной плоскости. Работу силы тяжести $m \vec{g}$ в этом случае надо вычислять по формуле $A = mgs \cos \alpha$. Но из рисунка видно, что
$\cos \alpha = \frac{h}{s}$.
Поэтому
$A = mgs \frac{h}{s} = mgh$.
Мы получили для работы то же самое значение.
рис. 3
Выходит, что работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или проходит более длинный путь по наклонной плоскости. При одной и той же «потере высоты» работа силы тяжести одинакова (рис. 3).
рис. 4
Это справедливо не только при движении по наклонной плоскости, но и по любому другому пути. В самом деле, допустим, что тело движется по какому-то произвольному пути, например по такому, какой изображен на рисунке 4. Весь этот путь мы можем мысленно разбить на ряд малых участков: $AA_{1}, A_{1}A_{2}, A_{2}A_{3}$ и т. д. Каждый из них может считаться маленькой наклонной плоскостью, а все движение тела на пути $AB$ можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей, переходящих одна в другую. Работа силы тяжести на каждой такой наклонной плоскости равна произведению $mg$ на изменение высоты тела на ней. Если изменения высот на отдельных участках равны $h_{1}, h_{2}, h_{3}$ и т. д., то работы силы тяжести на них равны $mgh_{1}, mgh_{2}, mgh_{3}$ и т. д. Тогда полную работу на всем пути можно найти, сложив все эти работы:
$A = mgh_{1} + mgh_{2} + mgh_{3} + \cdots = mg (h_{1} + h_{2} + h_{3} + \cdots)$.
Но
$h_{1} + h_{2} + h_{3} + \cdots = h$.
Следовательно,
$A = mgh$.
Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. При движении вниз работа положительна, при движении вверх - отрицательна.
Почему же в технике и быту при подъеме грузов часто пользуются наклонной плоскостью? Ведь работа перемещения груза по наклонной плоскости такая же, как и при движении по вертикали!
Это объясняется тем, что при равномерном движении груза по наклонной плоскости сила, которая должна быть приложена к грузу в направлении перемещения, меньше силы тяжести. Правда, груз при этом проходит больший путь. Больший путь - это плата »а то, что по наклонной плоскости груз можно поднимать с помощью меньшей силы.
Задача. Шарик массой $m$ скатывается по рельсам, образующим круговую петлю радиусом $r$ (рис. 196). Какую работу совершает сила тяжести к моменту, когда шарик достигает высшей точки петли $C$, если в начальный момент он находится на высоте $H$ над нижней точкой петли?
рис. 5
Решение. Работа силы тяжести равна произведению ее значения на разность высот начального и конечного положений шарика. Начальная высота равна $H$, а конечная, как это видно из рисунка, равна $2r$. Следовательно,
$A = mg (H - 2r) = mgh$.