Перемещение - это особая величина. Особая потому, что она задается не только определенным числом, ко и направлением. Таких величин в физике известно много; их называют векторными величинами или просто векторами.
Векторные величины изображают отрезками прямых со стрелками, как это сделано на рисунке а и б. Длина отрезка в определенном масштабе показывает абсолютное значение (модуль) векторной величины, а стрелка указывает ее направление. Векторные величины обозначаются буквами со стрелочкой над ними. Например, $\vec{s}$ - вектор перемещения. Модуль (или длина) вектора перемещения - число, показывающее, скольким единицам длины (метрам, километрам и т. д.) равно перемещение. Модуль вектора мы будем обозначать той же буквой со стрелкой, что и сам вектор, ко перед буквой и за ней будем ставить вертикальные линии. Например, $| \vec{s} |$ - модуль вектора перемещения $\vec{s}$. Вектор определяется его модулем и направлением.
Два вектора считают равными, если равны их модули и они одинаково направлены.
Величины, не имеющие направления в пространстве, т. е. просто числа, хотя и именованные, называют скалярными величинами или просто скалярами. Скалярными величинами являются, например, время, объем, температура и т. д.
Зная вектор перемещения и координаты начального положения тела, можно найти значения координат его конечного положения. Как это сделать, поясним на примере движения тела на плоскости.
рис. 1
Выберем систему координат $XOY$ (рис. 1 а). Начальное положение тела $M_{0}$ определяется координатами $x_{0}$ и $y_{0}$. Приставим к точке $M_{0}$ вектор $\vec{s}$ перемещения тела. Как найти координаты $x$ и $y$ конечного положения тела (точки $M$)?
Опустим из начала $M_{0}$ и конца $M$ вектора $\vec{s}$ перпендикуляры $M_{0}N_{0}$ и $MN$ на ось $X$ и перпендикуляры $M_{0}L_{0}$ и $ML$ на ось $Y$. Точки $N_{0}$ и $N$ - это проекции точек $M_{0}$ и $M$ на ось $X$, а точки $L_{0}$ и $L$ - на ось $Y$. Проведем вектор от точки $N_{0}$ (проекции начала вектора $\vec{s}$) к точке $N$ (проекции конца вектора $\vec{s}$). Вектор $\vec{N_{0}N }$ называют составляющей вектора $\vec{s}$ по оси $X$. Аналогично построим вектор $\vec{L_{0}L}$ (составляющую вектора $\vec{s}$ по оси $Y$).
рис. 2
Из рисунка 1а видно, что направление вектора $\vec{N_{0}N}$ совпадает с направлением оси координат. В этом случае, чтобы найти координату $x$ точки $M$, нужно к начальной координате $x_{0}$ прибавить длину отрезка $N_{0}N$. Направление вектора $\vec{N_{0}N}$ может быть и противоположно направлению оси координат (рис. 2а), тогда, чтобы найти координату $x$, длину отрезка $N_{0}N$ нужно будет вычесть из координаты $x_{0}$. Таким образом,
$x = x_{0} + N_{0}N$, если вектор Х$\vec{N_{0}N}$ направлен так же, как ось $X$, и
$x = x_{0} - N_{0}N$, если направление вектора $\vec{N_{0}N }$ противоположно направлению оси $X$.
Этот вывод можно записать короче, если ввести понятие проекции вектора $\vec{s}$ на ось $X$.
Проекцией вектора на ось $X$ называют скалярную величину, численно равную длине составляющей вектора по этой оси. Проекция будет положительной, если составляющая вектора $\vec{s}$ по данной оси координат направлена так же, как и ось координат, и отрицательной в противоположном случае
Проекцию вектора на оси координат мы будем обозначать той же буквой, что и вектор, но без стрелки над ней и с индексом, показывающим, к какой оси относится проекция. $s_{x}$ - проекция вектора $\vec{s}$ на ось $X$, $s_{y}$ - его проекция на ось $Y$ (рис. 1б и 2б). Если имеется только одна ось, мы, как правило, не будем писать индекса у проекции вектора.
Теперь, пользуясь понятием проекции вектора на ось, мы можем записать, что во всех случаях, как бы ни был направлен вектор $\vec{s}$, координата $x$ равна: $x = x_{0} + s_{x}$, а координата $y$ равна:
$y = y_{0} + s_{y}$.
Следовательно, зная перемещение, а значит, и его проекции на оси координат, можно найти координаты тела, т. е. решить основную задачу механики.
Если вектор $\vec{N_{0}N}$ направлен так же, как ось $X$, то проекция $s_{x}$ положительна ($s_{x} = N_{0}N$); если направление вектора $\vec{N_{0}N }$ противоположно направлению оси координат, то проекция $s_{x}$ отрицательна ($s_{x} = - N_{0}N$). Подобные рассуждения можно провести и для вектора $\vec{L_{0}L}$ и проекции $s_{y}$.
рис. 3
Рассмотрим такой пример. Пусть тело движется так, что вектор перемещения все время остается параллельным одной из координатных осей, например оси $X$ (рис. 3а). Тогда его проекция на ось $Y$ будет равна нулю. Это означает, что координата $y$ при движении не изменяется. Проекция же вектора перемещения $\vec{s}$ на ось $X$ по абсолютной величине равна длине самого вектора $\vec{s}$. Для случая, показанного на рисунке 12,а, она положительна, а для случая, показанного на рисунке 3б, отрицательна. Но в том и другом случае координата $x$ определяется формулой
$x = x_{0} + s_{x}$.
Задача. Турист шел из точки, расположенной в 2 км к востоку и в 1 км к северу от перекрестка дорог, и за 1 ч прошел такой путь, что его перемещение оказалось равным 5 км и направленным под углом $135^{ \circ}$ к направлению на восток. Определите местоположение туриста к исходу часа.
Решение. Поместим начало координат у перекрестка дорог и направим оси $X$ и $Y$ соответственно на восток и на север (рис. 13). Начальное положение туриста (точка $A$) задано координатами $x_{0} = 2 км$ и $y_{0} = 1 км$. Из этой точки проведем под углом $135^{ \circ}$ к оси $X$ вектор перемещения $\vec{AB}$. Нам надо найти координаты $x$ и $y$ точки $B$.
Спроецируем вектор $\vec{AB}$ на оси $X$ и $Y$. Проекции $s_{x}$ и $s_{y}$ вектора перемещения, как видно из рисунка, равны по абсолютной величине длинам катетов прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$. Обозначим катет треугольника через $a$, тогда согласно теореме Пифагора
$a^{2} + a^{2} = s^{2}$,
или
$2a^{2} = s^{2}$.
Отсюда
$a = \sqrt{ \frac{s^{2} }{2} } = 3,5 км, s_{x} = - a = -3,5 км, s_{y} = a = 3,5 км$.
Конечные координаты туриста мы найдем по формулам:
$x = x_{0} + s_{x}$ и $y = y_{0} + s_{y}$.
Подставив в эти формулы соответствующие значения, получим:
$x = 2 км - 3,5 км = -1,5 км, y = 1 км + 3,5 км - 4,5 км$