В разделе "Положение точки (тела) в пространстве" мы видели, что положение тела (точки) в пространстве всегда задается относительно какого-то другого тела, выбранного телом отсчета. Через какую-нибудь точку тела отсчета проводят оси координат. Принято говорить, что с этим телом отсчета связана система координат.
рис. 1
Но за тело отсчета мы можем принять любое тело и с каждым из них связать свою систему координат. Тогда положение одного и того же тела мы можем одновременно рассматривать в разных системах координат отсчета в разных системах координат положение одного и того же тела может быть совершенно различным. Например, положение автомобиля, на дороге можно определить, указав, что он находится на расстоянии $l_{1}$ км к северу от населенного пункта $A$ (рис. 1). Пункт $A$ служит в данном случае телом отсчета, а прямая, мысленно проведенная от него к северу - координатной осью, связанной с телом отсчета. Но можно выбрать за тело отсчета и какой-нибудь другой населенный пункт, например $B$, и сказать, что автомобиль расположен в $l_{2}$ км к востоку от него. Это значит, что положение тела относительно: оно различно относительно разных тел отсчета и связанных с ними разных систем координат.
Но не только положение тела относительно. Относительно и его движение. В чем состоит относительность движения?
Часто бывает, что движение одного и того же тела приходится рассматривать относительно разных тел отсчета, которые сами движутся друг относительно друга. Так, артиллеристу важно знать, как движется снаряд не только относительно Земли, на которой его орудие стоит неподвижно, но и относительно танка, в который он стреляет и который сам движется относительно Земли; пилот интересуется движением самолетами относительно Земли, и относительно воздуха, который в бурную погоду сам движется, и т. д.
Движения одного и того же тела относительно разных тел отсчета, движущихся одно относительно другого, могут сильно различаться. Различными могут быть и траектории, и скорости движения этого тела.
Рассмотрим движения одного и того же тела относительно двух тел отсчета, движущихся друг относительно друга. Предположим, что одно тело отсчета неподвижно, а второе движется относительно первого. Примем для простоты, что оно движется прямолинейно и равномерно. Выясним, как найти перемещение тела относительно этих двух тел отсчета (конечно, за одно и то же время).
Вот простой пример. Представим себе человека, плывущего вниз по течению реки с некоторой скоростью, которую он поддерживает постоянной, работая руками и ногами (если бы он не работал руками и ногами, он бы просто лежал на воде и относительно воды находился в покое). Примем за неподвижное тело отсчета берег, а за подвижное - воду.
Как же движется пловец относительно берега и относительно воды? Предположим, что за движением пловца следят два наблюдателя: один - на берегу, а другой - на лодке, которая без гребца плывет по течению реки. Относительно воды лодка покоится, а относительно берега она движется равномерно с такой же скоростью, как и сама вода.
рис. 2
Проведем мысленно через точку на берегу, в которой расположился наблюдатель, систему координат $XOY$, причем ось $X$ направим вдоль течения реки (рис. 2). С лодкой (с водой) мы тоже свяжем систему координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$, оси $X^{ \prime}$ и $Y^{ \prime}$ которой параллельны осям $X$ и $Y$.
Найдем перемещение пловца относительно этих двух систем координат (систем отсчета).
Для наглядности посмотрим, как движение пловца будет представляться наблюдателям в лодке и на берегу. Наблюдатель в лодке через некоторое время $t$ отметит, что пловец относительно него совершил некоторое перемещение $\vec{s}_{1}$. Разделив это перемещение на время, он получит скорость пловца $\vec{v}_{1}$:
$\vec{v}_{1} = \frac{ \vec{s}_{1} }{t}$
($\vec{v}_{1}$ - это скорость пловца относительно воды (лодки), т. е. в подвижной системе координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$).
Наблюдатель на берегу отметит, что за это же время $t$ перемещение пловца равно $\vec{s}$, а сама лодка совершила перемещение $\vec{s}_{2}$ относительно берега. Из рисунка 2 видно, что перемещение $\vec{s}$ пловца относительно берега, т. е. в системе координат $XOY$, равно сумме обоих перемещений:
$\vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2}$.
Разделив $\vec{s}$ на $t$, наблюдатель на берегу получит скорость $\vec{v}$ пловца относительно берега:
$\vec{v} = \frac{ \vec{s} }{t} = \frac{ \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} }{t} = \frac{ \vec{s}_{1} }{t} + \frac{ \vec{s}_{2} }{t}$.
Первое слагаемое $\frac{ \vec{s}_{1} }{t}$ - это скорость пловца относительно подвижной системы координат (воды или лодки). Слагаемое же $\frac{ \vec{s}_{2} }{t}$ - это, очевидно, скорость лодки (воды) относительно неподвижной системы координат (берега). Обозначим ее через $\vec{v}_{2}$. Значит, $\vec{v}_{2}$ - это скорость подвижной системы координат относительно покоящейся.
Следовательно,
$\vec{v} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}$. (1)
Эта формула называется формулой сложения скоростей.
рис. 3
Точно такую же формулу сложения скоростей мы получили бы и в том случае, если бы плозец плыл против течения (рис. 3).
Скорость движения тела относительно неподвижной системы координат равна геометрической сумме двух скоростей: скорости тела относительно подвижной системы координат и скорости самой подвижной системы относительно неподвижной.
Мы видим, что скорости тела относительно различных систем отсчета, движущихся друг относительно друга, различны. В этом и проявляется относительность движения.
В рассмотренном нами примере движущееся тело (пловец) н подвижная система координат (лодка или вода) движутся вдоль одной прямой - вдоль оси $X$. Поэтому вместо векторов $\vec{v}, \vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ мы можем воспользоваться их проекциями на ось $X$. Тогда формула сложения скоростей будет иметь вид:
$v = v_{1} + v_{2}$.
Величины $v, v_{1}$ и $v_{2}$ в этой формуле могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от направлений векторов $\vec{v}, \vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ по отношению к оси $X$.
Может случиться и так, что тело, которое движется в одной системе координат, находится в покое относительно другой. Если бы тот же пловец перестал работать рукам» и ногам» и просто лежал бы на воде, то относительно лодки он находился бы в покое, а относительно берега он двигался бы со скоростью течения. Наоборот, если бы пловец плыл со скоростью течения, по в противоположном направлении, то в покое он находился бы относительно берега, а относительно воды он двигался бы со скоростью $- v_{1}$. Следовательно, относительно не только движение, но и покой. Если тело относительно какой-то системы координат покоится, то всегда можно найти такие системы координат, относительно которых оно движется. Это значит, что абсолютно покоящихся тел не существует. Движение свойственно всем телам и вообще всему, что существует в природе, т. е. всему материальному миру.
Не всегда скорости движущегося тела и подвижной системы координат направлены вдоль одной прямой, как в примере с пловцом.
рис. 4
Предположим, что пловцу понадобилось переплыть реку с одного берега на другой, так что двигаться он должен все время перпендикулярно течению, т. е. перпендикулярно осп $X$ (рис. 4). По-прежнему будем считать движение пловца равномерным.
Каким будет это движение для наблюдателя в лодке (относительно подвижной системы координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$) и каким оно будет для наблюдателя на берегу (в покоящейся системе координат $XOY$)?
Наблюдатель в лодке видит, что пловец все время удаляется от него, двигаясь вдоль оси $Y^{ \prime}$. Он видит это, находясь и в точке $A$, и в точке $B$, и в любой другой точке. Через промежуток времени $t$, когда лодка будет находиться в точке $C$, пловец окажется на противоположном берегу в точке $C^{ \prime}$, совершив перемещение $\vec{s}_{1} = \vec{CC_{1}}$ (см. рис. 4). Перемещение самого наблюдателя вдоль оси $X$ равно $\vec{OC} = \vec{s}_{2}$. Разделив перемещение $\vec{s}_{1}$ на время $t$, наблюдатель в лодке получит скорость пловца относительно подвижной системы координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$:
$\vec{v}_{1} = \frac{ \vec{s}_{1} }{t}$
Направлена она вдоль оси $Y^{ \prime}$.
Совсем другим будет представляться движение пловца, переплывающего реку, наблюдателю, находящемуся на берегу. Для этого наблюдателя перемещаться будет и ось $Y^{ \prime}$. В «его» системе координат перемещение пловца за то же время $t$ представится направленным отрезком $\vec{O^{ \prime}C^{ \prime} } = \vec{s}$ (рис. 4). Пловца отнесло вниз по течению. Из рисунка 4 видно, что перемещение $\vec{s}$ равно геометрической сумме перемещения $\vec{s}_{1}$ пловца относительно подвижной системы координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$ и перемещения $\vec{s}_{2}$ самой системы координат $X^{ \prime}O^{ \prime}Y^{ \prime}$ относительно неподвижной системы $XOY$. Следовательно, н теперь так же, как и в примере, рассмотренном в предыдущем параграфе,
$\vec{s} = \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2}$.
Скорость пловца $\vec{v}$ относительно системы $XOY$ найдем так:
$\vec{v} = \frac{ \vec{s} }{t} = \frac{ \vec{s}_{1} + \vec{s}_{2} }{t} = \frac{ \vec{s}_{1} }{t} + \frac{ \vec{s}_{2} }{t}$,
т. е.
$\vec{v} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}$,
Мы видим, что правило сложения скоростей осталось таким же, как и раньше, но теперь алгебраически скорости складывать нельзя, так как векторы $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ не параллельны друг другу.
В примере, который мы рассмотрели, не только скорости движения, но и траектории пловца различны в разных системах координат. Если для наблюдателя в лодке траекторией движения пловца является прямая, перпендикулярная течению реки, то для наблюдателя па берегу траектория движения пловца - это прямая, наточенная под некоторым углом (не равным $90^{ \circ}$) к направлению течения. Это тоже проявление относительности движения: в различных системах координат, движущихся друг относительно друга, и траектории движения различны.