Между основными тригонометрическими функциями произвольного угла $\alpha$ имеются следующие тождественные соотношения:
1. $sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$. (1)
Доказательство. Принимая $| \vec{r} | = r = 1$, получим (для произвольного угла $\alpha$) $\sin \alpha = y, \cos \alpha = x$, где $x$ и $y$ - проекции единичного радиуса-вектора на оси координат (см. рис.). По теореме Пифагора $|х|^{2} +|у|^{2} = 1$, так как $| \vec{r} | = 1$, откуда
$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$.
2. $tg \alpha = \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}$, (2)
где $\alpha \neq \frac{ \pi}{2} + n \pi; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
3. $ctg \alpha = \frac { \cos \alpha }{ \sin \alpha }$ (3)
где $\alpha \neq n \pi; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
Тождества (2) и (3) служат соответственно определениями функций $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ (см. формулы (3) и (4)).
4. $sec \alpha = \frac{1}{ \cos \alpha}$, (4)
где $\alpha \neq \frac{ \pi}{2}; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
5. $cosec \alpha = \frac{1}{ \sin \alpha}$,
где $\alpha \neq n \pi; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
Тождества (4) и (5) служат соответственно определениями функций $sec \alpha$ и $cosec \alpha$ (см. формулы (5) и (6)).
Тождества (1)-(5) назовем основными. При помощи этих основных тождеств выведем так называемые дополнительные тождества.
6. Перемножив почленно тождества (2) и (3), получим
$tg \alpha ctg \alpha = 1$, (6)
где $\alpha \neq \frac{ n \pi}{2}; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
7. Разделив тождество (1) почленно на $\cos^{2} \alpha$, при условии, что $\cos \alpha \neq 0$, получим
$1 + ctg^{2} \alpha = cosec^{2} \alpha$, (7)
где $\alpha \neq n \pi; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
8. Разделив тождество (1) почленно на $\sin^{2} \alpha$, при условии, что $\sin а \neq 0$, получим $1 + ctg^{2} \alpha = cosec^{2} \alpha$, (8) где $\alpha \neq n \pi; n = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots$.
При помощи тождеств (1)-(8) можно производить преобразования различных выражений, содержащих тригонометрические функции, и получать новые тождества.
Пример 1. Доказать тождество
$\sin \alpha \cos^{2} \alpha (1 + tg^{2} \alpha ) + \cos \alpha \sin^{2} \alpha (1 + ctg^{2} \alpha ) = \sin \alpha + \cos \alpha$.
Решение. Заменив в левой части $tg \alpha$ и $ctg \alpha$ их выражениями по формулам (2) и (3), получим
$\sin \alpha \cos^{2} \alpha (1 + tg^{2} \alpha ) + \cos \alpha \sin^{2} \alpha (1 + ctg^{2} \alpha ) = \sin \alpha \cos^{2} \alpha + \sin^{3} \alpha + \cos \alpha \sin^{2} \alpha + \cos^{3} \alpha = \sin \alpha ( \cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha ) + \cos \alpha ( \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha ) = \sin \alpha + \cos \alpha$.
После выполнения тождественных преобразований левая часть равенства совпала с правой. Исходное тождество этим доказано.
Это же тождество можно доказать и по-другому, воспользовавшись формулами (7) и (8), а затем формулами (4) и (5).
Пример 2. Упростить выражение
$A = 2 ( \sin^{6} \alpha + \cos^{6} \alpha ) - 3 ( \sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha )$. (*)
Решение. Используя тождество (1), получаем
$( \sin^{2} + \cos^{2} \alpha )^{2} = 1$,
откуда
$\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha$. (9)
Аналогично находим
$\sin^{6} \alpha + \cos^{6} \alpha = 1 - 3 \sin^{4} \alpha \cos^{2} \alpha - 3 \sin^{2} \alpha \cos^{4} \alpha = 1 - 3 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha ( \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha ) = 1 - 3 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha$. (10)
Подставив (9) и (10) в (*), будем иметь
$A = 2 - 6 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha - 3 + 6 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha = -1$.