Неравенство с двумя неизвестными
$F(x,y) > 0$ (1)
имеет своими решениями пары чисел $(x, y)$, которые изображаются точками плоскости. Найти множество всех решений данного неравенства (или, в других случаях, системы неравенств) - это значит указать на плоскости множество точек, в которых это неравенство (система неравенств) удовлетворяется. Такая необходимость возникает, например, при отыскании о.д.з. алгебраического выражения, зависящего от двух буквенных величин.
Пример 1. Указать на плоскости множество решений неравенства: а) $x(x-y) > 0$; б)$|x| + |y| \leq 1$.
Решение. а) Неравенство удовлетворяется в двух случаях: 1) при $x > 0, x > y$; 2) при $x < 0, x < y$.
В случае 1) получается часть правой полуплоскости $x > 0$, лежащая ниже прямой $y = x$ (рис. а). Случаю 2) отвечает часть левой полуплоскости, лежащая выше прямой $y = x$ (рис. б). Все множество решений неравенства показано на рис. в. Линии $x = 0$ и $y = x$, ограничивающие заштрихованную область, в нее не входят (так как решалось строгое неравенство).
б) Пусть сначала $x \geq 0, y \geq 0$. Тогда получается система неравенств
$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \end{cases}$.
Так как $x + y = 1$ - уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки, равные единице, то неравенствам будут удовлетворять точки треугольника, ограниченного отрезками осей координат и прямой $x + y = 1$ (в первой четверти; рис. а). Части области, расположенные в других четвертях, будут симметричны указанному треугольнику (рис. б). В этом легко убедиться, если заметить, что вместе с точкой $(x, y)$ неравенству будут удовлетворять и симметрично расположенные точки $(-x, y), (x, -y), (-x, -y)$. Линии, ограничивающие область, в данном случае ей принадлежат (вследствие того, что неравенство нестрогое).
Пример 2. На плоскости $Oxy$ показать области, в которых функция
$z = (y - x^{2} )(x - y^{2} )$
положительна или отрицательна.
Решение. На плоскости $Oxy$ изобразим параболы $y = x^{2}$ и $x = y^{2}$ отделяющие друг от друга области $y > x^{2}$ и $y < x^{2}$ (рис. а), а также области $x > y^{2}$ и $x < y^{2}$ (рис. б). Области, где указанные выражения положительны, заштрихованы (разной штриховкой на рис. а и рис. б). Оба чертежа совмещены на рис. в и теперь видно, что области, покрытые двойной штриховкой и совсем незаштрихованные, являются областями положительности функции, а однократно заштрихованные области - областями ее отрицательности. Всего получается пять областей, в двух из которых функция отрицательна и в трех положительна.