При прямолинейном движении векторы $\vec{v}_{0}$ и $\vec{v}$ направлены вдоль одной прямой, которая является в то же время и траекторией движения. Вдоль этой же прямой в направлении движения тела мы условились направлять и координатную ось (ось $X$). В таком случае вектор разности $\vec{v} - \vec{v}_{0}$, а значит и вектор ускорения $\vec{a}$, лежит на той же прямой (см. § 6). Но куда он направлен - в сторону движения (так же как ось $X$) или против него?
В § б мы видели, что проекция разности двух векторов на какую-нибудь ось равна разности их проекций на ту же ось. Следовательно, для проекций векторов $\vec{v}_{0}, \vec{v}$ и $\vec{a}$ она на ось $X$ можно написать
$a = \frac{v -v_{0} }{t}$. (1)
Здесь $a$ - проекция вектора $\vec{a}$ на ось $X$; $v$ и $v_{0}$ - проекции векторов $\vec{v}$ и $\vec{v}_{0}$ на ту же ось.
Так как все три вектора лежат па одной прямой (оси $X$), то абсолютные значения их проекций равны абсолютным значениям самих векторов.
Рассмотрим 2 случая ускоренного движения тела.
Первый случай. Скорость тела по абсолютному значению растет (тело «разгоняется»). Это значит, что $v > v_{0}$. Тогда из формулы (1) видно, что проекция ускорения а положительна и равна $| \vec{a} |$ . Вектор $\vec{a}$, следовательно, направлен так же, как ось $X$, т. е. в сторону движения. Когда, например, бронебойный снаряд движется при выстреле в стволе орудия, его скорость растет и ускорение направлено так же, как и скорость (рис.).
Второй случай. Тело тормозится, т. е. абсолютное значение его скорости уменьшается ($v < v_{0}$). Из формулы (1) видно, что проекция ускорения а в этом случае отрицательна: $a = - | \vec{a} |$.
Из формулы (1) можно получить выражение для скорости $v$:
$v = v_{0} + at$. (2)
В этой формуле, повторяем, $v, v_{0}$ и $a$ - проекции векторов $\vec{v}, \vec{v}_{0}$ и $\vec{a}$ на ось $X$, которые могут быть как положительными, так и отрицательными.
При решении задач выражение для скорости (2) удобно записывать так, чтобы из него сразу было видно, как направлен вектор ускорения.
Если скорость тела растет (разгон), то $a = | \vec{a} |$ и
$v = v_{0} + | \vec{a} | t$. (2а)
Когда же скорость тела уменьшается (торможение), $a = - | \vec{a} |$ и
$v = v_{0} - | \vec{a} |t$. (2б)
Понятно, что тело, которое тормозится, должно когда-то остановиться. Это произойдет, как это видно нз формулы (2б), тогда, когда $v_{0}$ станет равным $| \vec{a} |t$, т. е. в момент времени $t = \frac{v_{0} }{| \vec{a} |}$. Но если ускорение остается постоянным (по модулю и направлению) и после этого момента, то тело, остановившись, начнет двигаться в противоположную сторону. Это видно из того, что при $t > \frac{v_{0} }{ | \vec{a} | } | \vec{a}|t $ станет больше, чем $v_{0}$; скорость $v$ изменит свой знак на обратный. Так движется, например, тело, брошенное вертикально вверх: долетев до высшей точки траектории, тело начинает движение вниз.
Если $v_{0} = 0$ и вектор ускорения направлен так же, как и ось координат, то из формулы (2а) следует, что
$v = + | \vec{a} | t$.
Если же ось координат выбрана так, что направление вектора ускорения противоположно направлению оси координат, то из формулы (26) следует, что
$v = - | \vec{a}| t$.
Знак «-» в этой формуле означает, что вектор скорости, так же как и вектор ускорения, направлен противоположно направлению оси координат. Модуль скорости, конечно, и в этом случае увеличивается со временем.
Обычно мы называем движение с возрастающей по абсолютной величине скоростью ускоренным движением, а движение с убывающей скоростью - замедленным движением. Но в механике любое неравномерное движение является ускоренным движением. Трогается ли автомобиль с места или тормозит, в обоих случаях он движется с ускорением. Ускоренное прямолинейное движение отличается от замедленного только знаком проекции вектора ускорения.
Мы знаем, что и перемещение, и скорость, и траектория движения различны относительно разных тел отсчета, движущихся друг относительно друга.
А ускорение? Относительно ли оно?
Ускорение тела, как мы теперь знаем, определяется векторной разностью двух значений его скорости в различные моменты времени. При переходе от одной системы координат к другой, движущейся относительно первой равномерно и прямолинейно, изменятся оба значения скорости. Но изменятся они на одну и ту же величину. Разность же их останется неизменной. Поэтому и ускорение останется неизменным.
Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, ускорение тела одинаково.
Но ускорения тела будут различными в системах отсчета, движущихся с ускорением друг относительно друга. В этом случае ускорения складываются так же, как скорости (см. § 10).
Задача. Автомобиль проезжает мимо наблюдателя, двигаясь со скоростью 10 м/сек. В этот момент водитель нажимает на тормоз, и автомобиль начинает двигаться с ускорением $1 м/сек^{2}$. Сколько времени пройдет с того момента, когда водитель нажал на тормоз, до остановки автомобиля?
Решение. Выберем за начало отсчета то место, в котором находится наблюдатель, и направим координатную ось в сторону движения автомобиля. Тогда проекция скорости автомобиля на эту ось будет положительной. Так как скорость автомобиля умеиьшается, то проекция ускорения отрицательна и мы должны воспользоваться формулой (26):
$v = v_{0} - | \vec{a}|t$.
Откуда $t = \frac{v_{0} - v }{| \vec{a} |}$.
Подставляя в эту формулу численные значения заданных величин, получим:
$t = \frac{10 \frac{м}{сек} - 0 }{1 \frac{м}{сек^{2}}} = 10 сек$.
За положительное направление координатной оси можно принять и направление, противоположное движению. Тогда проекция начальной скорости автомобиля будет отрицательной ($v_{0} = - 10 м/сек$), а проекция ускорения - положительной, и применять тогда нужно формулу (2а):
$v = v_{0} + | \vec{a}|t$.
Отсюда
$t = \frac{v - v_{0} }{| \vec{a} |} = \frac{0 - \left ( - 10 \frac{м}{сек} \right )}{1 \frac{м}{сек^{2} } } = 10 сек$.
Результат получился тот же. Да он и не может зависеть от того, как выбрано направление оси координат!