В качестве примера того, как определяют массу тел по их ускорениям при взаимодействии, мы найдем массу Луны по ее взаимодействию с Землей.
О том, что Земля влияет на движение Луны, известно всем. Все знают, что именно под влиянием Земли Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом около 384 000 км.
Обычно считают, что Луна обращается вокруг Земли так, будто центр Земли есть неподвижный центр лунной орбиты. Если бы это было так, то это противоречило бы закону взаимодействия, по которому ускорения получают оба взаимодействующих тела. На самом деле н Луна влияет на Землю, заставляя ее двигаться по окружности и сообщая ей центростремительное ускорение. Но вокруг какого центра?
рис. 1
рис. 2
Астрономические наблюдения показали, что Луна обращается не вокруг центра Земли, а вокруг некоторой точки $P$ (рис. 1), которая отстоит от центра Земли на 4700 км. (Эта точка находится внутри земного шара.) Вокруг этой же точки $P$ движется по окружности и центр Земли (рис. 2). Значит, радиусы, соединяющие центры Земли и Луны с точкой $P$, движутся с одинаковой угловой скоростью вокруг точки $P$. Центр Земли движется по окружности радиусом $r_{з} \approx 4700 км$, а центр Луны - по окружности радиусом $r_{л} \approx 380 000 км$. Выходит, что Земля и Луна ведут себя совершенно так же, как алюминиевый и стальной цилиндры в опыте, рассмотренном в "Взаимодействие тел. Ускорения тел при их взаимодействии". Мы видели там, что отношение центростремительных ускорений, сообщаемых цилиндрами друг другу, равно отношению радиусов окружностей, по которым они движутся. Точно
так же отношение модулей ускорений Луны $| \vec{a}_{л} |$ и Земли $| \vec{a}_{з} |$ равно отношению радиусов $r_{л}$ и $r_{з}$:
$\frac{ | \vec{a}_{л} | }{ | \vec{a}_{з} | } = \frac{ \omega^{2}r_{л} }{ \omega^{2} r_{з} } = \frac{r_{л} }{r_{з} }$.
Но отношение ускорений взаимодействующих тел равно, как мы знаем, обратному отношению их масс, поэтому
$\frac{r_{л}}{r_{з} } = \frac{m_{з}}{m_{л} }$.
Так как $r_{л} \approx 380 000 км$, а $r_{з} \approx 4700 км$, то
$\frac{m_{з} }{m_{л} } \approx \frac{380000}{4700} \approx 81$.
Следовательно, масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. Если бы была известна масса Земли, то можно было бы определить массу Луны. Масса Земли действительно была определена. Она оказалась равной $6 \cdot 10^{24} кг$. Тогда
$m_{л} \approx \frac{6 \cdot 10^{21} кг}{81} \approx 7 \cdot 10^{22} кг$.