система алгебраических уравнений
линейной системой уравнений
Система уравнений вида
$\begin{cases} f (x,y,z) = 0 \\ \phi (x,y,z) = 0 \\ \varphi (x,y,z) = 0 \end{cases}$ (1)
называется системой алгебраических уравнений
, если левые части уравнений являются целыми рациональными выражениями относительно неизвестных $x, y, z$.
Если же левые части линейны относительно неизвестных, то система называется линейной системой уравнений. Обычно линейную систему уравнений с двумя или тремя неизвестными записывают, соответственно, в виде
$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y = c_{2} \end{cases}$ (2)
и
$\begin{cases} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2} \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$ (3)
вставляя в левых частях члены, содержащие неизвестные, а в правых - свободные члены системы.
Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными (2) и будем решать ее методом исключения; исключить неизвестную $y$ - это значит найти такое следствие нашей системы, которое уже не содержало бы $y$. Для получения такого уравнения умножим первое уравнение системы (2) на $b_{2}$, а второе на $b_{1}$ получим:
$\begin{cases} a_{1}b_{2}x + b_{1}b_{2}y = b_{2}c_{1} \\ a_{2}b_{1}x + b_{1}b_{2}y = b_{1}c_{2} \end{cases}$.
Вычтем теперь второе уравнение этой системы из первого. При этом члены, содержащие $y$, уничтожатся, и мы получим
$(a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})x = b_{2}c_{1} - b_{1}c_{2}$. (4)
В этом уравнении исключена неизвестная $y$.
Обратимся снова к системе (2) и умножим ее первое уравнение на $a_{2}$, а второе на $a_{1}$ получим
$\begin{cases} a_{1}a_{2}x + a_{2}b_{1}y = a_{2}c_{1} \\ a_{1}a_{2}x + a_{1}b_{2}y = a_{1}c_{2} \end{cases}$.
Вычтем из второго уравнения этой системы первое:
$(a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})y = a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1}$. (5)
Таким образом, мы из системы (2) исключили $x$.
Заметим, что в уравнении (4) коэффициент при $x$ такой же, как и коэффициент при $y$ в уравнении (5). Для сокращения записей введем следующие обозначения:
$a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1} = \Delta$, (6)
$b_{2}c_{1} - b_{1}c_{2} = \Delta_{x}$, (7)
$a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1} = \Delta_{y}$ (8)
(греческая буква $\Delta$ читается "дельта"). Уравнения (4) и (5) при этом перепишутся так:
$\Delta \cdot x = \Delta_{x}$, (9)
$\Delta \cdot y = \Delta_{y}$ (10).
Предположим теперь, что $\Delta \neq 0$. Тогда из уравнений (9) и (10) делением на $\Delta$ найдем
$\begin{cases} x = \Delta_{x} / \Delta \\ y = \Delta_{y} / \Delta \end{cases}$. (11)
Уравнения (9) и (10) являются следствиями основной системы (2). Так как каждое решение системы (2) должно удовлетворять и уравнениям (9), (10), то система не может иметь никаких других решений, кроме решения, определяемого равенствами (11). Это рассуждение еще не доказывает, что (11) действительно является решением системы. Чтобы в этом убедиться, следует выражения $x, y$, заданные равенствами (11), подставить в уравнения системы (2) и проверить, что они обращаются в тождества. Произведем эту проверку, например, для первого уравнения системы (для второго читатель повторит аналогичные вычисления самостоятельно). Подставляем $x = \Delta_{x}/ \Delta, y = \Delta_{y} / \Delta$ в левую часть первого из уравнений (2) и производим тождественные преобразования:
$a_{1} \frac {b_{2}c_{1} - b_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}} + b_{1} \frac {a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}} = \frac {a_{1}b_{2}c_{1} - a_{1}b_{1}c_{2} + b_{1}a_{1}c_{2} - b_{1}a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}} = \frac {c_{1} (a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1})}{a_{1}b_{2} - a_{2}b_{1}} = c_{1}$.
Результат подстановки $x$ и $y$ в уравнение дал нам, как и требовалось, правую часть $c_{1}$, уравнение удовлетворено.